空间向量专题练习答案

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1、空间向量专题练习一、填空题(本大题共4小题，共20.0分)1.平面α的法向量为（1，0，-1），平面β的法向量为（0，-1，1），则平面α与平面β所成二面角的大小为______．【答案】2或【解析】解：设平面α的法向量为=（1，0，-1），平面β的法向量为=（0，-1，1），10쳌0(1)쳌(1)11则cos＜，＞==-，2222∴＜，＞=．∵平面α与平面β所成的角与＜，＞相等或互补，2∴α与β所成的角为或．2故答案为：或．利用法向量的夹角

2、与二面角的关系即可得出．本题考查了利用用法向量的夹角求二面角的方法，考查了计算能力，属于基础题．2.平面α经过三点A（-1，0，1），B（1，1，2），C（2，-1，0），则平面α的法向量可以是______（写出一个即可）【答案】（0，1，-1）【解析】解：=（2，1，1），=（，-1，-1），设平面α的法向量=（x，y，z），=2쳌쳌=0则，令z=-1，y=1，x=0．==0∴=（0，1，-1）．故答案为：（0，1，-1）

3、．=2쳌쳌=0设平面α的法向量=（x，y，z），则，解出即可．==0本题考查了线面垂直与数量积的关系、平面的法向量，属于基础题．.已知=（1，0，2），=（2，1，1），则平面ABC的一个法向量为______．【答案】（-2，，1）【解析】解：=（1，0，2），=（2，1，1），设平面ABC的法向量为=（x，y，z），=0쳌2=0则，即，取x=-2，则z=1，y=．

4、=02쳌쳌=0高中数学试卷第1页，共5页∴=（-2，，1）．故答案为：（-2，，1）．=0设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则，解出即可．=0本题考查了平面的法向量、线面垂直与数量积的关系，属于基础题．4.在三角形ABC中，A（1，-2，-1），B（0，-，1），C（2，-2，1），若向量与平面ABC垂直，且

5、

6、=21，则的坐标为______．【答案】（2，-4，-1）或（-2，4，1）【解析】解：设平面ABC的法向量为=（x，y

7、，z），则=0，且•=0，∵=（-1，-1，2），=（1，0，2），쳌2=0∴，쳌2=0=2即，=4令z=1，则x=-2，y=4，即=（-2，4，1），若向量与平面ABC垂直，∴向量∥，设=λ=（-2λ，4λ，λ），∵

8、

9、=21，∴21•

10、λ

11、=21，即

12、λ

13、=1，解得λ=±1，∴的坐标为（2，-4，-1）或（-2，4，1），故答案为：（2，-4，-1）或（-2，4，1）根据条件求出平面的法向

14、量，结合向量的长度公式即可得到结论．本题主要考查空间向量坐标的计算，根据直线和平面垂直求出平面的法向量是解决本题的关键．二、解答题(本大题共小题，共6.0分)5.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；1（2）点M在线段PC上，㤵=，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C的大小．高中数学试卷第2页，共5页【答案】解：（1）证明：由题意知：PQ⊥AD，BQ⊥AD，PQ∩BQ=Q，∴A

15、D⊥平面PQB，又∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．（2）∵PA=PD=AD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD，以Q这坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立如图所求的空间直角坐标系，由题意知：Q（0，0，0），A（1，0，0），P（0，0，），B（0，，0），C（-2，，0）2122∴㤵=쳌=（-，，），设1是平面MBQ的一个法向量，则1

16、㤵=0，1=0，22쳌쳌=0∴，∴1=(，0，1)，=0又∵2=(0，0，1)平面BQC的一个法向量，1∴cos＜1，2＞=2，∴二面角M-BQ-C的大小是60°．【解析】（1）由题设条件推导出PQ⊥AD，BQ⊥AD，从而得到AD⊥平面