创新训练计划资助项目结题案例

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1、“创新训练计划”资助项目结题案例（由项目负责学生在项目完成后撰写，每个项目提交一份）要求：小四号字，宋体，单倍行距1）案例特点鲜明，有一定可借鉴性；2）内容详实，真实有据；3）文稿、图片提供电子版。基本信息（项目负责人填写在第一行）研究题目拓扑K理论及其应用项目名称1、“国家创新训练计划”2、“北京市创新计划”√所属学科门类数学立项时间2015年6月结题时间2016年9月学生学号姓名性别身份证号院（系）专业1300010613韩松奇男120101199604021516数学科学学院基础数学导师姓名性别年龄院（系）专业领域

2、职称/职务范后宏男数学科学学院拓扑学副教授案例摘要（500字以内）本项目的选题背景、目的与意义；项目实施的初步收获和体会本项目学习和研究的主要内容是拓扑K理论及其应用。拓扑K理论对代数拓扑、代数几何、代数K理论、偏微分方程理论等数学核心方向的发展有着重大影响。其一些重要应用反映出其不可缺少性和相较之前理论的优越性。具体成果是第一，应用同调工具得到Hopf的著名结果，实数域上的有单位元的有限维交换可除代数必同构于实数域或复数域。第二，应用上同调工具得到若实数上存在n维可除代数，则n是2的方幂。第三，应用K理论，重复Adam

3、s的深刻著名结果：实数域上的有限维可除代数的维数只能为1，2，4，8。第四，应用Clifford代数的分类和其上的单模结构具体构造了一组球面上处处线性无关的切向量场。在进行本科生科研的学习研究过程中，我接触了现代数学的中心理论之一，K理论和相关的许多重要的方面，拓宽我的学术视野，培养我们解决问题、提出问题、评价问题的能力，使我熟悉数学科研的基本过程、方法和手段，对于现代的拓扑学有了一个更加深入的了解，在范后宏老师的指导下认识到提出问题、评价问题的重要性，增加和同学之间的交流，培养更敏锐的数学认识。在分析了概念和命题之间的

4、关系，体会证明中的关键想法之后，对数学有了更深刻的认识。这些对我在数学领域的长远发展有着非常重要的意义。案例正文（4000字以内）项目选题的背景（除选题意义以外，应着重说明学生对该项目的自主兴趣所在和原先在该项目上所积累的实践基础和知识基础，400字以内）本项目学习和研究的主要内容是拓扑K理论及其应用。作为一个广义上同调理论，拓扑K理论对代数拓扑、代数几何、代数K理论、偏微分方程理论等数学核心方向的发展有着重大影响。其一些重要应用反映出其不可缺少性和相较之前理论的优越性。在选题之初，我已修完微分流形，正在修拓扑学、偏微分

5、方程和同调论，因此希望选择一个题目，可以实践和应用刚刚学习过的课程的知识。而这一题目与范后宏老师的方向相关，也符合我的兴趣与预期。项目成员的组成、特长、分工及成员间相互协调配合的情况，导师指导情况（400字以内）到目前为止，我已经在范后宏老师的指导下进行了为期一年的关于拓扑K理论的独立学习和研究。按计划，在2015年暑假学习了微分流形和点集拓扑基础。并在2015-2016学年第一学期初步接触了同调理论，作为理解和掌握K理论的基础。在了解了同调理论后，为了对其抽象的理论架构有更好的掌握，在范后宏老师的指导下，我又学习了同调

6、理论的一些具体应用。接下来，在第二学期自学K理论并与其他同学共同讨论。在结束了原本预计的问题“实数域上的有限维可除代数的分类”之后，在范后宏老师的指导下又进一步构造了一组“球面上的最大处处线性无关切向量场”。在学习和研究的过程中，我会大约每3周两次向范后宏老师寻求进一步的指导。并在2015年暑假、2015-2016学年第一学期、2016年寒假、2015-2016学年第二学期、和其他几个有相似兴趣的同学一起成立了一个讨论班，在学期中进行每周一次、在假期进行不定期的交流和讨论，主要探讨证明的关键思想、命题和概念的应用、概念之

7、间的联系。项目的创新点与特色（包括使用了什么样的创新方法、手段、项目的科学意义和应用价值等，600字以内）首先，应用同调工具得到Hopf的著名结果，实数域上的有单位元的有限维交换可除代数必同构于实数域或复数域。并沿着Hopf的思路继续进行推广，例如去掉这里的可交换性条件，发现下同调理论并不能带来更多的结果。于是，从同调理论出发，定义一个新的函子——上同调函子。上同调函子比同调函子有更好的性质：胞腔复形的上同调群具有内在的环结构。这一更好的代数性质赋予上同调理论更大的威力和更多的应用。由此得到“若实数上存在n维可除代数，则

8、n是2的方幂。”并体会上同调理论对于下同调理论的优越性，上同调工具对于空间的刻画更加精细。接下来，更进一步的推广是MichelKervaire和JohnMilnor应用Bott周期律在1958年证明的结果“实数域上的有限维可除代数只能是实数域、复数域、四元数域和早先由Frobenius发现的八元数域”，和另一个与之等