高中数学：数列通项公式的求法论文新课标人教b版必修5

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1、论数列通向公式的求法摘要：数列在理论上和实践中均有较高的价值，是培养学生观察能力、理解能力、逻辑思维能力的绝好载体，高考对数列知识的考察在八十年代末发展到了极致，以后逐渐冷落，但最近几年又逐渐升温，随着与大学知识的接轨，竞赛题的释放，很多省市的高考数学卷都把数列题作为压轴题，而数列通向公式的求法又成为一个热点。本文想总结一下在高中阶段，求数列的通项公式的常用方法和策略。关键词：数列通向公式递推公式求法1．观察法观察法就是观察数列特征，找出各项共同的构成规律，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通向公式，然后利

2、用数学归纳法加以证明即可。例1在数列中且成等差数列，成等比数列。求及，由此猜测的通向公式，并证明你的结论。解：有题设条件得，由此得，猜测用数学归纳法证明：(1)当n=1时，有以上知结论成立；(2)假设n=k时，结论成立；即，，那么当时，，所以当时，结论也成立，由(1)(2)，可知对一切正整数都成立[1]点评：采用数学归纳法证明多是理科教学内容，较为容易，好掌握。2．定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例2等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式.　　解：设数列公差

3、为d(d>0)　　∵成等比数列，点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。3．公式法若已知数列的前n项和与的关系，求数列的通项可用公式求解。　　例3已知数列的前n项和满足．求数列的通项公式。　　　　点评：利用公式求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并．[2]4．由递推公式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。[3]4．1类型1递推公式为，其中的和比较易求，通常解法是把原递推公式转化为，利用

4、累加法(逐差相加法)求解。例4已知数列中，求的通向公式解：由已知得，，令，代入个等式累积，即4．2类型2递推公式为。解法：（1）把原递推公式转化为，利用累乘法求解。例5已知数列满足，求的通向公式。　　解：由条件知，分别令n=1，2，3……，(n-1)，代入上式得(n-1)个等式累乘之，即　　（2）由和确定的递推数列的通项可如下求得：由已知递推式有，，…，依次向前代入，得，简记为，这就是叠（迭）代法的基本模式。例6已知，求。解：。[4]4．3类型3递推公式为（p,q,s,为常数）。解法：利用两边取倒数求通向公式。例7已知数列的首项，求的通向公式解

5、，，是以为首项，为公比的等比数列，另解：设，解得方法1：，整理得，则即故数列是以为首项，为3公比的等比数列则，即方法2：由，可得，故数列是以为首项，3为公比的等比数列则，即。点评：形如（为常数）的数列可用方程解得两根，然后利用或，直接整理转化求解，也可将两式作比进行求解，此种方法称为“特征根法”。[5]4．4类型4递推公式为型的。解法：（1）用“退一相减法”；（2）利用；（3）归纳，猜想，证明。方法（1）和方法（2）的实质是由混合型的转化为纯粹型的，也就是“减元思想”的应用。例8已知数列的前n项和与之间满足，求的通向公式解，(1)下面用三种方法

6、解答：方法一：下标退一，可得(2)(1)-(2)得即，由，得数列是以为首项，以为公比的等比数列方法二：由得，可得，，，数列是以为首项，以为公比的等比数列。所以，则，当时，又适合此式，所以方法三：易得，故猜想下面用数学归纳法证明（证略）4．5类型5递推公式为（其中p，q均为常数，）。解法：一般采用待定系数法将原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。[6]例9已知数列中，，求。解：令与已知比较，得，所以，数列是以为首项，2为公比的等比数列所以即[7]4．6类型6递推公式为=p+q(p、q均为常数)（又称二阶递归）解法：将原递推公式

7、=p+q，转化为-＝（-）并且由解出、因此可以得到数列｛-｝是等比数列。特殊地对于型的递推公式，我们可以的这样分析：∵∴∴是以为首项，公比为的等比数列例10已知数列中a1=1，a2==-,求数列｛｝的通项公式。解：令-＝（-）由解得：＝1、＝则由此可得-＝（-），a2-a1=∴-=∴＝（-）+（-）+┈+（a2-a1）+a1=++┈++1=3-.∴＝3-总之，求数列通向公式的方法并不满足以上所述，对于同一问题的求解也不仅是一种方法，只有在平时学习与探究过程中不断地体会与总结，将知识与方法学活，才可以做到游刃有余。参考文献[1]高慧明.数列通项的

8、求法在2008年高考中的展示.[J]试题与研究,2008,20.[2]龙志明.数列通项公式的九种求法.[J]求学,2005,11.[3]陈云烽.递推数