常微分方程 第三版答案 王高雄等new

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1、习题2.11.,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得2．并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：3．解：原式可化为：12．解15．16．解：，这是齐次方程，令17.解：原方程化为令方程组则有令当当另外19.已知f(x).解：设f(x)=y,则原方程化为两边求导得20.求具有性质x(t+s)=的函数x(t),已知x’(0)存在。解：令t=s=0x(0)==若x(0)0得x=-1矛盾。所以x(0)=0.x’(t)=)两边积分得arctgx(t)=x’(0)t+c所以x(t)=tg[x’(0)t+c]当t=0时x(0)=0

2、故c=0所以x(t)=tg[x’(0)t]21.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。解：设（x+y）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y’(x-x)+y则与x轴，y轴交点分别为：x=x-y=y-xy’则x=2x=x-所以xy=c23.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中=。解：由题意得：y’=dy=dxln

3、y

4、=ln

5、xc

6、y=cx.=则y=tgx所以c=1y=x.24.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则y’=kx则：y=kx+c即为所求。习题2.2求下列

7、方程的解1．=解：y=e(e)=e[-e()+c]=ce-()是原方程的解。2．+3x=e解：原方程可化为：=-3x+e所以：x=e(ee)=e(e+c)=ce+e是原方程的解。3．=-s+解：s=e(e)=e()=e()=是原方程的解。4．，n为常数.解：原方程可化为：是原方程的解.5．+=解：原方程可化为：=-()=是原方程的解.6．解：=+令则=u因此：=（*）将带入（*）中得：是原方程的解.13这是n=-1时的伯努利方程。两边同除以，令P(x)=Q(x)=-1由一阶线性方程的求解公式=14两边同乘以令这是n=2时的伯努利方程。两边同除以令P（x）=Q(x)=由一

8、阶线性方程的求解公式==15这是n=3时的伯努利方程。两边同除以令=P(y)=-2yQ(y)=由一阶线性方程的求解公式==16y=+P(x)=1Q(x)=由一阶线性方程的求解公式==c=1y=17设函数(t)于∞

9、2.28）的通解可表为，其中为任意常数.（3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解.证明：（2.28）（2.3）（1）设，是（2.28）的任意两个解则（1）（2）（1）-（2）得即是满足方程（2.3）所以，命题成立。（2）由题意得：（3）（4）1）先证是（2.28）的一个解。于是得故是（2.28）的一个解。2）现证方程（4）的任一解都可写成的形式设是(2.28)的一个解则（4’）于是（4’）-（4）得从而即所以，命题成立。（1）设，是（2.3）的任意两个解则（5）（6）于是（5）得即其中为任意常数也就是满足方程（2.3）（5）（6）得即

10、也就是满足方程（2.3）所以命题成立。21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。（5）曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；（6）曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项；解：设为曲线上的任一点，则过点曲线的切线方程为从而此切线与两坐标轴的交点坐标为即横截距为，纵截距为。由题意得：（5）方程变形为于是所以，方程的通解为。（6）方程变形为于是所以，方程的通解为。22．求解下列方程。（1）解：===（2）P(x)=Q(x)=由一阶线性方程的求解公式===习题2.31、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。1.解：，=1.则所以此方

11、程是恰当方程。凑微分，得：2．解：，.则.所以此方程为恰当方程。凑微分，得3．解：则.因此此方程是恰当方程。（1）（2）对（1）做的积分，则=（3）对（3）做的积分，则==则故此方程的通解为4、解：，..则此方程为恰当方程。凑微分，得：5.(sin-cos+1)dx+(cos-sin+)dy=0解：M=sin-cos+1N=cos-sin+=-sin-cos-cos+sin=-sin-cos-cos+sin所以，=，故原方程为恰当方程因为sindx-cosdx+dx+cosdy-sindy+dy=0d(-cos)+d(sin)+dx+d(