电磁学部分习题解答

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1、1.直角坐标系中点电荷电量为Q，坐标为，写出Q所产生的电场在空间任一点的电场强度。解：画出坐标系及空间任一点，则该点相对于点电荷的位矢为，由点电荷Q产生的电场在P点处的场强分量为该场强的方向沿方向：。在求解给定具体坐标的特殊问题时，往往用分量形式直接计算更直观更方便，还不易出错。矢量形式固然很标准化很简洁（尤其是涉及到带有散度和旋度的微分方程），但一般只用于做基本证明和推导的过程，因为矢量方程与所取的任一坐标无关。2.一电偶极子的电偶极矩为，P点到偶极子中心的距离为r，与的夹角为，在时，求P点的电场强度在方向的分量和垂直于方向的分量。解：在极坐标系下，

2、设点相对于和的位矢分别为，，它们与的夹角分别为和，由点电荷的场强公式有，，在极坐标下，可以分解为：，其中，，，，又因为，在此近似下有，，，带入以上各式，化简得，。此种方法的关键在于灵活运用各坐标分量间的几何与近似关系。对于电偶极子的问题，联系电势一节的内容，我们可以做一些归纳，下面我们从最常用的直角坐标系出发，来推导电偶极子在空间任一点的电势及场强公式。以偶极子两电荷连线中点为原点，以偶极矩方向为x轴方向取直角坐标系中任一点，由点电荷的电势叠加可得：考虑到的条件，有，上式右边经过二项展开，并略去的高阶项（二阶及以上），得则，则P点的偶极子势为可写成矢量

3、表达形式：（*）下面求电偶极子的电场强度：由,将上式带入,有其中，，，则（#）。以上（*）和（#）式为偶极子的一般计算式。可以在具体的坐标系中直接带入计算。变换到球坐标系中,由于轴对称性可知，与无关，则的分量为：，。1.计算的散度：解：。2.如图所示，无限大带电层，且电荷密度，试求其产生的场强。解：此题需分三个区域进行计算：取垂直于带电层的坐标OX。（1），取到之间的带电平面，取单位面积的电荷面密度为，则，则该平面在处形成的电场强度为：，（负号代表取坐标负向。）若，则；（2），同理可得（负号代表取坐标正向。）若，则；（3），对于带电层中间的区域，要注意

4、和的情况不一样，故要进行分段积分：若，则。1.求无限长均匀带电柱体周围的场强，已知延高方向单位长度电荷密度为，圆柱底面半径为。解：取半径为、高为的同轴圆柱面为高斯面，分以下两种情况考虑：（1）时，由高斯定理，有而，则得（2）当时，，同理得到。2.求均匀带电球壳产生的电场中电位的分布，设球壳带电总量为，半径为。解：以无穷远处作为电位零点，即,由真空中带电球壳的场强分布：根据电位的定义求解：对于时，；对于时，。1.求无限大均匀带电平面（电荷面密度为）的电势分布。解：确立原点在平面上的坐标OX，设空间任一点P位于处。取为电位零点，由无限大均匀带电平面的场强公

5、式，有下面以的情况来讨论：由电位定义有：。本题中电位零点的取法很关键，注意到：求无限大带电体周围的电位时，不能取无穷远处为电位零点。1.一半径为的均匀带电圆面，电荷总量为，求轴线（OX）上的电位分布，并画出曲线。解：在圆面上取的圆环，由于圆面的电荷面密度：,故该圆环所带电量为：而圆环在轴线上的电位分布可以根据电位叠加法，取圆环上的一段，取无穷远处为电位零点，由点电荷的电位公式：，得圆环在轴线上的电位分布为：现在将此电位作为圆面在轴线上电位的积分元，即令，，作圆面上半径的积分，可得整个圆面在轴线上的电位：。2.电量均匀分布在长为的细直线上，求下列各处的电

6、位：（1）中垂面上离带电线段中心O为处，并用梯度求；（2）延长线上离中心O为为处，并用梯度求；（3）通过一端的垂直面上离该点为处，并用梯度求。解：根据题意，以O为原点中垂线所在直线作为x轴、延长线所在直线作为y轴建立坐标系，取无穷远处为电位零点。（1）求点的电位及：设直线上的一段所带的电量为，由点电荷电位公式，它在点的电位为：则整段直线在点的电位为：则有。（2）求点的电位及：线元的电量仍然为，由点电荷电位公式，它在点的电位为：则整段直线在点的电位为：则有,（＋号对应，—号对应）。y（3）求点的电位及：2l同样取线元，其电量仍然为，由点电荷电位公式，它在

7、点的电位为：rPOx则整段直线在点的电位为：则有。rl-lP-2q+q+q1.（P44.8）如图所示一种电四极子，由两个相同的电偶极子组成，这两偶极子在一直线上，当方向相反，它们的负电荷重合在一起。求延长线上离中心（即负电荷）为处的电场及电位分布。解一：根据电场叠加原理，三个点的电荷在P处的场强：由，上式可以用Tayler公式展开：利用公式，并取二级近似，有则。以上为一种常规方法——运用点电荷电场叠加原理。下面介绍另一种方法，将电四极子看作两个电偶极子的组合问题，直接运用电偶极子的电势求解：解二：由偶极子专题的分析，偶极矩为的电偶极子在空间任意一点P处

8、的电位为：，注意这里的指的是中点到P点的位矢。本题中的电四极子的电位可以用两个偶极子电位的叠加