数学分析教学中“问题链”设计原则

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1、数学分析教学中“问题链”设计原则1问题：数学教学的核问题是指某个给定过程，对对象认识的当前状态与智能主体（包括人与机器）所要求的目标状态之间差距或矛盾的主观反映，是认知领域的一个范畴。数学起源于解决实际生活中的应用问题，而层出不穷的问题推动数学发展，所以问题是数学的心脏，这已经成为人们对数学本质的深刻认识。在数学教学过程中，教师围绕着“提出问题、研究问题、求解问题”而进行，衡量数学学习效果也是通过解决数学问题的水平来评价的，因此问题也就成为数学教学的核心。问题的本质是认识主体从未知到已知的过渡形式或中介环节，是已知与未知的统一体；问题的功

2、能是有助于知识的了解与掌握、理解与应用、调节与评价、教育与发展。由此可见，问题是引导研究的，寻找与发现问题是获得数学发现（特指发现已有真命题）和数学思维发展的基本方法之一。2“问题链”：数学知识的表现形式“问题链”是指面对数学问题，不断探索发展规律、寻找新的联系、论证其真实性，找到具有内在联系的若干问题的组合。对数学学习者而言，数学知识的内部结构是一个纵横交错的“问题链”结构，如由罗尔定理到拉格朗日中值定理，到柯西中值定理，再到泰勒中值定理，由牛顿一莱布尼兹公式到格林公式，到魏尔斯特拉斯公式，再到高斯公式，均是数学分析中典型的“问题链”的

3、知识结构。对于目前高校大规模招生的现状，高师数学专业（特别是专科专业）学生的数学基础知识相对比较薄弱，而数学分析课程从知识内容、逻辑体系、系统构造等方向都非常抽象、严密，如果教师仅仅开展“因为……,所以……”的命题结构进行解决，学生就难以接受教师传递的信息，也无法使“知识逻辑”与“认知逻辑”之间引发内部的矛盾冲突，造成原有数学知识结构与新的数学知识不能很好地融合在一起。所以，我们必须要对问题（命题）进行拆解，寻求它与横向或纵向知识有联系的若干问题，形成一条“问题链”，促进学生对新知识形成有完整的认识，提高数学思维能力。3“问题链”的设计原

4、则数学分析中“问题链”设计的好坏直接影响初学者知识结构的形成、思维能力的提高、发现问题的意识、创新意识的培养及身心健康的发展。下面所涉及到的问题都是结合数学分析教学实践中的若干案例，但是由于本文没有对它展开证明，而是分析问题链的设计原则着手研究的，从而仍然将它们看成问题。3.1数学化原则数学化由现实问题到数学问题，由具体问题到抽象概念的认识活动，是人类发现活动在数学领域里的具体表现12。极限理论是数学分析课程的基础，以研究无穷思维为依据的，运用无限过程的运算解决了实践中提出的诸多现实问题，以至于它的每一个概念的产生都有其现实背景。由此可见

5、，面对数学分析中的概念、应用等问题，“问题链”的设计必须符合数学化原则，提高学生的数学素养，掌握渗透于基础知识的数学思维方法，并解决实际问题。例1:关于定积分概念的理解。问题（1):如何求j=X2(1会)、x轴以及x=1与x=3所围面积的近似值?问题（2)求将区间[1，3]作n等分，则曲边梯形面积的近似值如何求解?问题（3):求在区间[1，3]内任意插入n一1个分点，则曲边梯形面积的近似值为多少？问题（4):说出求曲边梯形面积数学化的实质，并解释定积分概念的定义。3.2可行性原则学生是数学学习活动中的认知主体，知识只有在它与认知主体在建构

6、活动中的行为相冲突或者相顺应时才被建构起来的131。由于学生的认知系统是不完全相同的，在设计“问题链”时，教师必须研究学生的知识结构与思维发展水平。因此，教师设计的问题不要太深，也不要太浅，应在“原有水平”与“最近发展区”的结合点，让学生的思维活动具有一定的可操作性，有效激发求知欲望，主动寻找解决问题的策略，领会数学方法，获得数学活动的体验。例2:关于一元函数一致连续的定义证明。问题⑴:已知f(x)在[a,b]与[bc]上连续，则/(工)在[a,c]是否一致连续?简到繁、由已知到未知，依次设计问题，层层推进，逐步展开问题的探究。数学解题思

7、维的表现具有策略、方法、技能三个层次，那么在处理一个新问题时，往往先要求学生对问题做一个粗略的思考，然后逐步深入到实质与细节。明确地说，首先从策略意义上设计问题，以明确解决问题的总体方向，体现思维的“定向性”；其次从方法意义上提出问题，以确定合适的解决问题的方法，体现思维的“选择性”；最后从技能意义上提出问题，完成解决问题的运作过程，体现思维的“具体性”。例3:关于柯西中值定理的证明。是最适合进行探索活动的学科之一，设计问题链的本质就是加强数学探究活动的过程，它包括：从观察数学事实出发，提出问题，探索数学规律，猜测和寻找适当的数学结论，探

8、索解决问题的方法与途径以及再发现问题4。数学探索强调学生积极思考问题的意识，参与做数学的学习方式，一般不指望学生一定做出完整的结论或产生独到的创见，而是给学生提供信息，引向更深层次的问题研究。