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1、《计算方法》习题课软件学院韩臻email:zhan@bjtu.edu.cntel:(010)51688789(O)（2006年12月）范例1：一、题目：用公式求方程x2–56x+1=0的两个根，问要使它们具有四位有效数字，D＝至少要取几位有效数字？如果利用韦达定理，D又该取多少位有效数字呢？二、解答：用方法（1）：x±=(-b±D)/(2a)求解4位有效数字的x+，只需2位有效数字的D即可；但求解4位有效数字的x-，需要7位有效数字的D。用方法（2）：x+=(-b+D)/(2a),x-=c/(ax+)求解4位有效数字
2、的x+和x－都只需2位有效数字的D即可。三、证明：计算可得D＝sqrt（562-4）=55.964274319……设D*是D的具有k位有效数字的近似值，则40，一般地bk是不大于5、不小于0.05的正数，在这里bk<1。例如：b1=0.7；b2＝0.06；b4＝0.8。对于方法（1）记相应的近似解为x*+和x*-，有：所以，一般地，x*+是x+的有k+1位有效数字的近似值。特别地，当k=2时，所以，这时即有4位有效数字。所以，一般地，x*－是x－的有k－3位有效数字的近似值。特别地，当k=7时有4位有效数字。1、对于
3、方法（2）x*+的分析同上。对于x*-有：
4、x*--x-
5、/
6、x*+
7、=
8、c/(ax*+)-c/(ax+)
9、/
10、c/(ax*+)
11、=
12、x*+-x+
13、/
14、x+
15、所以，这时x*-的精度与x*+一样，即一般地它有k+1位有效数字。特别地，当k=2时，有4位有效数字。四、试验：1、设计40我们用程序实现进行试验。设计以下试验的步骤：[1]求出有足够精度的D，例如有十位有效数字，用变量Delta表示；[2]用二分法求出有足够精度的x+和x－，分别用X1和X2表示；[3]k=1；[4]取D的k位有效数字近似值，用delta表示；
16、[5]用方法（1）计算x+和x－的近似值，分别用x1和x2表示，并计算它们的相对误差，并输出；[6]用方法（2）计算x+和x－的近似值，分别用x1和x2表示，并计算它们的相对误差，并输出；[7]若已得出试验结果，结束；否则k=k+1,并转第[3]步。1、程序用Matlab5.0编程：（1）主程序：p9_7.m%韩臻，2003年3月25日%求方程a*x^2+b*x+c=0的两个根，要求具有n位有效数字，%其中，a=1,b=-56,c=1;%问：%(1)用x1=(-b+Delta)/(2*a)，x2=(-b-Delta)
17、/(2*a),%其中,Delta=sqrt(b*b-4*a*c)40%则Delta应取几位有效数字？%(2)若用韦达定理：x1=(-b-sign(b)*Delta)/(2*a),x2=c/(a*x1),%则Delta又应取几位有效数字？%%给定系数值：a=1;b=-56;c=1;%%计算Delta:Delta=b*b-4*a*c;ifDelta<0disp('没有实根.');return;elseDelta=sqrt(Delta);%%(具有16位有效数字的近似解）:%%用二分法计算根X1和X2(具有16位有效数字的
18、近似解）:X1=bi_split(50,60);X2=bi_split(0,1);%%输出具有10位有效数字的Delta、x1和x2:40fprintf('输出具有10位有效数字的Delta、x1和x2:');fprintf('Delta=%17.10e',Delta);fprintf('x1=%17.10e',X1);fprintf('x2=%17.10e',X2);%%取Delta的k位有效数字近似值计算：fork=1:10%%输入Delta的k位有效数字近似值：fprintf('输入Delt
19、a的%d位有效数字近似值',k);delta=input('delta=');fprintf('delta=%17.10e',delta);%%用方法（1）计算根x1和x2,相对误差e1和e2,并输出:x1=0.5*(-b+delta)/a;x2=0.5*(-b-delta)/a;e1=abs((x1-X1)/X1);e2=abs((x2-X2)/X2);fprintf('方法（1）的结果：');fprintf('x1=%17.10e',x1);fprintf('x2=%17.10e',x2);fprintf
20、('原结果：');40fprintf('X1=%17.10e',X1);fprintf('X2=%17.10e',X2);fprintf('相对误差：');fprintf('e1=%17.10e',e1);fprintf('e2=%17.10e',e2);%%用方法（2）计算根x1和x2,相对误差e1和e2,并输出:x1=0.5*(-b
