必然与或然思想方法

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1、2010高考数学考点预测：必然与或然的思想方法随机现象具有两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性。概率知识在现实生活中常常用到，在高考中越来越倍受关注，概率所研究的过程是在“偶然”中寻找“必然”，然后再用“必然”的规律去解决“偶然”的问题，这其中所蕴涵的数学思想就是必然与或然的思想。在概率部分考查上文理是有一定的区分度的。理科在解答题部分将会重点考查古典概率的计算、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、重复独立试验的概率、离散型随机变量的分布列、数学期望（均值）与方差有关问题等。文科不再考查排列、组合，二项式定理，删除了事件的相互独立性、独立重复

2、实验概型，在解答题部分将会以列举计数的方法对概率进行考查。1．古典概型例1．（2008海南卷，文19）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查．6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10．把这6名学生的得分看成一个总体．（Ⅰ）求该总体的平均数；（Ⅱ）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．分析：本题为古典概型，先计算出总体平均数，列出所有的抽取情况，再从中找出符合条件的即两人的得分平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的所有情况。解：（

3、Ⅰ）总体平均数为（Ⅱ）设表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：，，，，，，，，，，，，，，．共15个基本结果．事件包括的基本结果有：，，，，，，．共有7个基本结果．所以所求的概率为．评注：文科关于概率大题的考查基本上列举法，即列出所有的基本事件，从中找出满足要求的基本事件，然后求出它们的个数比即可。例2．（2008山东淄博，理）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：.（Ⅰ）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；（Ⅱ）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每

4、次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望.分析：本题中每一张卡片被抽取到是等可能的，可利用排列组合的知识随机抽取和按要求无放回的抽取，从而计算出每个事件的概率，列出分布列求出数学期望。解：（Ⅰ）记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知.　　（Ⅱ）ξ可取1，2，3，4　　故ξ的分布列为ξ1234P答：ξ的数学期望为．评注：在解答本题时，要弄清随机变量的所有取值情况，题目中有三个奇函数，三个偶函数，所以最多取4次就一定能取到记有偶函数的卡片，从而停止抽取。注意不放回地抽取，上一次的抽取结果

5、会影响下一次的抽取，即下一次的总体个数减少。2.几何概型例3．（2008江苏卷，6）在平面直角坐标系中，设是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向中随机投一点，则所投点在中的概率是　　　分析：本小题考查古典概型，其概率应为几何图形的面积比。如图：区域D表示边长为4的正方形的内部（含边界），区域E表示单位圆及其内部，因此．答案：评注：在解决几何概型问题时，要弄清整个事件的区域长度（面积或体积），以及所研究事件的区域长度（面积或体积），特别是平面几何图形的构成常常是考查的焦点，有可能与定积分相联系。例4．（2008宁夏银川一中）如

6、图所示，墙上挂有一边长为的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是（）A．B．C．D．与的取值有关分析：本小题考查古典概型，其概率应为几何图形的面积比。其中阴影部分的面积要通过规则的图形的面积求出，即正方形的面积去掉一个圆的面积。解：正方形的面积为，而四个角空白部分合起来为半径为的一个圆，面积为，所以他击中阴影部分的概率是，故选A。答案：A评注：在解决几何概型问题时，对于不规则图形的面积要通过求定积分或规则图形的面积求出。例5．（2007宁夏卷，文2

7、0）设有关于的一元二次方程．（Ⅰ）若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．分析：一元二次方程有实根的条件为，即。题（Ⅰ）可用列举法列出所有的基本事件，找出符合条件的基本事件。题（Ⅱ）就是几何概型。可作出试验的总区域，和符合条件的区域，应该是把看作有序数对对于平面上的点，可画出平面区域解答。解：设事件为“方程有实根”．当，时，方程有实根的充要条件为．（Ⅰ）基本事件共12个：．其中第一个数表示的