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1、定积分证明题方法总结六篇 定积分是历年数学的考查重点，其中定积分的证明是考查难点，同学们经常会感觉无从下手，小编特意为大家总结了定积分的计算方法，希望对同学们有帮助。 一、不定积分计算方法 1.凑微分法 2.裂项法 3.变量代换法 1)三角代换 2)根幂代换 3)倒代换 4.配方后积分 5.有理化 6.和差化积法 7.分部积分法（反、对、幂、指、三） 8.降幂法 二、定积分的计算方法 1.利用函数奇偶性 2.利用函数周期性 3.参考不定积分计算方法 三、定积分与极限 1.积和式极限 2.利用积分中值定理或微分中值定理求极限 3.洛必达法则 4.等价
2、无穷小 四、定积分的估值及其不等式的应用 1.不计算积分，比较积分值的大小 1)比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有 f(x)>=g(x),则>=()dx 2)利用被积函数所满足的不等式比较之a) b)当0可积。 ●定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。 3、定积分的若干重要性质 ●性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。 ●推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。 ●推论
3、∫abf(x)dx
4、≤∫ab
5、f(x)
6、dx。 ●性质设m及m分别是
7、函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m(b-a)≤∫abf(x)dx≤m(b-a),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。 ●性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点，使下式成立：∫abf(x)dx=f()(b-a)。 4、关于广义积分 设函数f(x)在区间[a,b]上除点c(a 定积分的应用 1、求平面图形的面积(曲线围成的面积) ●直角坐标系下(含参数与不含参数) ●极坐标系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面积公式s=r2θ/2) ●旋转体体积(
8、由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成)(且体积v=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程) ●平行截面面积为已知的立体体积(v=∫aba(x)dx,其中a(x)为截面面积) ●功、水压力、引力 ●函数的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx) 一、不定积分的概念和性质 若f(x)f(x)，则f(x)dxf(x)c，c为积分常数不可丢！ 性质1f(x)dxf(x)或df(x)dxf(x)dx或 df(x)dxf(x)dx 性质2f(x)dxf(x)c或df(x)f(x)c 性质3[f(x)g(x)]dx 或[f(x)g(x)]dx
9、 二、基本积分公式或直接积分法 基本积分公式f(x)dxg(x)dxg(x)dx；kf(x)dxkf(x)dx.f(x)dx kdxkxc xxdx1x1c(为常数且1)1xdxlnxcax edxecadxlnacxx cosxdxsinxcsinxdxcosxc dxdx22tanxcsecxdxcsccos2xsin2xxdxcotxc secxtanxdxsecxccscxcotxdxcscxc dxarctanxcarccotx c（）1x2arcsinxc（arccosxc） 直接积分法：对被积函数作代数变形或三角变形，化成能直接套用基本积分公式。代数变形主
10、要是指因式分解、加减拆并等；三角变形主要是指三角恒等式。 三、换元积分法： 1.第一类换元法（凑微分法） g(x)dxf((x))(x)dxf((x))d(x) 注(1)常见凑微分： u(x)f(u)du[f(u)c]u(x). 111dxd(axc),xdxd(x2c),2dc),dxd(ln
11、x
12、 c)a2x1dxd(arctanx)d(arccotxd(arcsinx)d(arccosx)1+x2 (2)适用于被积函数为两个函数相乘的情况： 若被积函数为一个函数，比如：e2xdxe2x1dx，若被积函数多于两个，比如：sinxcosx1sin4xdx，要分成两类；
13、(3)一般选择“简单”“熟悉”的那个函数写成(x)； (4)若被积函数为三角函数偶次方，降次；奇次方，拆项； 2.第二类换元法 f(x)dxx(t)f((t))(t)dtf((t))(t)dtt1(x)g(t)ct1(x)常用代换类型: (1)对被积函数直接去根号; (2)到代换x1;t (3)三角代换去根号 x atantxasect、 xasint(orxacost) f(xdx，t
