第九章振动vibration

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1、第九章振动vibration本章要点：1.简谐振动的定义及描述方法.2.简谐振动的能量3.简谐振动的合成物体在一定位置附近作周期性的往返运动，如钟摆的摆动，心脏的跳动，气缸活塞的往复运动，以及微风中树枝的摇曳等，这些都是振动。振动是一种普遍而又特殊的运动形式，它的特殊性表现在作振动的物体总在某个位置附近，局限在一定的空间范围内往返运动，故这种振动又被称为机械振动。除机械振动外，自然界中还存在着各式各样的振动。今日的物理学中，振动已不再局限于机械运动的范畴，如交流电中电流和电压的周期性变化，电磁波通过的空间内，任意点电场强度和磁场强

2、度的周期性变化，无线电接收天线中，电流强度的受迫振荡等，都属于振动的范畴。广义地说，凡描述物质运动状态的物理量，在某个数值附近作周期性变化，都叫振动。9.1简谐振动simpleharmonicvibration9.1.1简谐振动实例simpleharmonicvibrationsample在振动中，最简单最基本的是简谐振动，一切复杂的振动都可以看作是由若干个简谐振动合成的结果。在忽略阻力的情况下，弹簧振子的小幅度振动以及单摆的小角度振动都是简谐振动。1.弹簧振子质量为m的物体系于一端固定的轻弹簧(弹簧的质量相对于物体来说可以忽略不

3、计)的自由端，这样的弹簧和物体系统就称为弹簧振子。如将弹簧振子水平放置，如图9-1所示，当弹簧为原长时，物体所受的合力为零，处于平衡状态，此时物体所在的位置O就是其平衡位置。在弹簧的弹性限度内，如果把物体从平衡位置向右拉开后释放，这时由于弹簧被拉长，产生了指向平衡位置的弹性力，在弹性力的作用下，物体便向左运动。当通过平衡位置时，物体所受到的弹性力减小到零，由于物体的惯性，它将继续向左运动，致使弹簧被压缩。弹簧因被压缩而出现向右的指向平衡位置的弹性力，该弹性力将阻碍物体向左运动，使物体的运动速度减小直到为零。之后物体又将在弹性力的作

4、用下向右运动。在忽略一切阻力的情况下，物体便会以平衡位置O为中心，在与O点等距离的两边作往复运动。图中,取物体的平衡位置O为坐标原点，物体的运动轨迹为x轴，向右为正方向。在小幅度振动时，由胡克定律可知，物体所受的弹性力Ｆ与弹簧的伸长即物体相对平衡位置的位移x成正比，弹性力的方向与位移的方向相反，总是指向平衡位置。即Ｆ＝－kx式中k是弹簧的劲度系数,它由弹簧本身的性质(材料、形状、大小等)所决定，负号表示力与位移的方向相反。根据牛顿第二定律F=ma和a=，物体的加速度为即　　　　　　　（9-1）对于一个给定的弹簧振子，k与m都是常量

5、，而且都是正值，故我们可令（9-2）代入上式得　　　　　　　　　　　　（9-3）这一微分方程的解是（9-4）式中是积分常数，它们的物理意义将在后面讨论。由上式可知，弹簧振子运动时，物体相对平衡位置的位移按余弦（或正弦）函数关系随时间变化，我们把具有这种特征的运动称为简谐振动。根据速度和加速度的定义，将（9-4）分别对时间求一阶导和二阶导，可分别得到物体作简谐振动时的速度和加速度：（9-4a）（9-4b）上述各式中，（9-3）揭示了简谐振动中的受力特点，故称之为简谐振动的动力学方程，而（9-4）反映的是简谐振动的运动规律，故称为简谐

6、振动的运动学方程。2.单摆如图9-2所示，一根不会伸缩的细线上端固定，下端悬挂一个体积很小质量为m的重物。细线静止地处于铅直位置时，重物在其平衡位置O处。把重物从平衡位置略为移开后放手，重物就在平衡位置附近来回摆动,这种装置称为单摆。设在某时刻,单摆的摆线与竖直方向的夹角为θ，忽略一切阻力时，重物受到重力G和线的拉力T作用。重力的切向分量决定重物沿圆周的切向运动。设摆线长为l，沿逆时针方向转过的θ为正，根据牛顿运动定律得当θ很小时，≈θ，所以式中令。与式（9-3）相比较可知,单摆在摆角很小时的振动是简谐振动。3.复摆个可一绕固定轴

7、O转动的刚体称为复摆。如图9-3所示。平衡时，摆的重心C在轴的正下方，摆动到任意时刻,重心与轴的连线OC偏离竖直位置一个微小角度θ，我们规定偏离平衡位置沿逆时针方向转过的角位移为正。设复摆对轴O的转动惯量为J，复摆的质心C到O的距离OC=h。复摆在角度θ处受到的重力矩为M=－mghsinθ,当摆角很小时，,所以M=－mgθh，由转动定律得即式中令，与式（9-3）相比较可知,复摆在摆角很小时的振动是简谐振动例9-1.一远洋海轮，质量为Ｍ，浮在水面时其水平截面积为Ｓ。设在水面附近海轮的水平截面积近似相等，如图9-4所示。试证明此海轮在

8、水中作幅度较小的竖直自由振动是简谐振动。解选择Ｃ点代表船体。当船处于静浮状态时，此时船所受浮力与重力相平衡，即F=ρgSh=Mg式中ρ是水的密度，h是船体Ｃ以下的平均深度。取竖直向下的坐标轴为y轴，坐标原点Ｏ与Ｃ点在水面处重合。设船上下振动的任一瞬