再谈向量教学与解题

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1、向量教学存在的问题及对策张景中彭翕成武汉华中师范大学教育信息技术工程研究中心430079向量进入高中数学教材已经好几年了。在上海这样的教改前沿地区，甚至在初中都开始学习向量了，一些老师的教学调查表明，初中生是完全能够接受基本的向量知识的，见文[1-3]。新事物的出现，人们总会对其品头论足一番。对于向量法，这几年各大期刊上的文章不可谓不多也，有些杂志期期都有向量法的文章，讨论甚为热烈。笔者也写了一些小文章，见文[4-9]。中学向量的内容本来不多，经过这么多老师（包括大学教授）的讨论，按道理来说，对向量的教学

2、和解题应该早已弄清楚了才对。但笔者看了最近一些杂志上的文章，发现存在的问题不少，觉得有必要进一步对向量法的特点作一些介绍，同时也算是对笔者以前的几篇文章作一个小结。1.向量特点分析向量法解题的基本法则不多，只有4点：法则1，是向量相加的“首尾相连法则”，即。这个法则可以推广到多个向量,用来写出许多向量等式;法则2，是向量数乘的意义和运算律,特别是可以用数乘一个向量来表示和它平行或共线的向量;法则3,是向量内积(数量积)的意义和运算律,特别是相互垂直的向量内积为0;法则4,是平面向量基本定理：如果，是平面上

3、两个不共线的向量，则对于平面上任一向量，存在唯一的一对实数，，使得。初等几何解题要用许多公理和定理,而向量法仅仅用这几条,这从根本上体现了向量法平易简捷的特色。这4条基本法则也展示了向量法的本质特点。下面进行详细分析。对于向量回路，笔者认为是向量法区别于其他解题方法的本质特点。中的等号，可理解成“结果等效”。这与1+2=3中的“数量相等”有一定的区别，但并不难理解和接受。甲和乙都从A地出发去B地，甲是直接去A地，而乙却先是到C地办事再去B地，最终两人都到了B地，可谓殊途同归。下面这段对话常常出现在军事题材

4、的影片中：“你们现在什么位置？报告长官，我们现在在A山头，离B山头还有30公里，但是过河的桥已经被敌人炸了，我们过不去！我不管你们怎么过去，明天下午4点之前必须攻下B山头。不要说会流多少血，我对血没有印象；不要说死多少人，我不在乎，我只要结果。”从A到B，有多条路可供选择；很多时候，我们更关心结果，而非过程。两点之间，直线最短，人尽皆知，但若两点之间根本无路可走，怎么办？搭桥也许需要花费较多的时间，我们选择另辟蹊径——绕！看似走弯路，实则是捷径！很多文章都写道“向量是联系几何和代数的天然桥梁”，但为何天然

5、？却语焉不详。回顾三角形的定义：“由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的封闭图形叫做三角形”，我们认为所谓天然就表现在向量和三角形都存在首尾相接的闭合回路，而三角形是最基本、最重要的几何图形，构成了几何学的基础；平面几何如此，立体几何亦如此。关于向量数乘。如图1，若，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”容易判定四边形ABCD是平行四边形。如果要从平行四边形的基本定义“两组对边互相平行的四边形是平行四边形”出发，则还需作一些说明。由得，则，，所以即。而若，即，则，。这说明向量数乘与三角形相

6、似有着紧密联系。当然，共线的情形也不可遗漏。图1图2关于平面向量基本定理。如图2，若，，则。这既可看作是向量的加法，又可看作是三角形全等中SAS定理的说明：由，，推出，。先证明了，只有线段相等，AC与DF才能重合为一条边，两个三角形才有拼成平行四边形的可能。从另一角度看图2，若，，，则可根据“有一条对应边相等的相似三角形全等”判定，，。这实质上就是平面向量基本定理。将两三角形拼在一起后，如图3，过C作AB的平行线，过A作BC的平行线，两线交于点D，构成平行四边形。图3在文[9]中，笔者详细论述了：平行四边

7、形与和平面向量基本定理有着天然的联系，平面向量基本定理则是平行四边形法则的扩展与延伸。即若把看作是决定方向，把看作是决定大小的话，平面向量基本定理其实质就是平行四边形的性质：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；平行四边形的对边平行且相等。2.向量教学的几点注意我们认为引入向量法，首先要让中学老师能够感受到向量法的优势；而不是可有可无，更不是增加负担。譬如说用小学的知识解鸡兔同笼问题感到很困难，等到中学学了解方程组之后，再来解就变得很容易，这就让学生感受到解方程组的方法很有用，很值得去学习。笔者与中学老师

8、交流的时候，发现一些中学老师没有感受到向量法的优势。经过调查研究，我们认为现在的向量教学和解题存在“穿新鞋走老路”的现象，披着向量的外衣，但实际上还是原来“综合几何”或“坐标法”那一套。这种现象的造成，追本溯源，教材和教参的编写者要负相当大的责任。教材教参这个源头出了问题，中学老师们纷纷依葫芦画瓢，又在杂志上发表类似的文章，导致对向量法的误读进一步扩散。2.1将向量法等同于综合几何证法首先我们来看苏教版（文[10]）教材上的一