例析函数奇偶 对称性与周期性

例析函数奇偶 对称性与周期性

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1、函数的奇偶性、周期性和对称性函数的奇偶性、周期性和对称性的关系055350河北隆尧一中焦景会函数的性质主要是指函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性,它们准确的刻画了函数自身的规律性。掌握函数的这四个性质对于解决函数问题很有帮助。现在探讨以下函数的对称性、奇偶性及周期性这三个方面的关系。由一道高考题目说起。(2005年广东卷I)设函数,,且在闭区间[0,7]上只有。(1)试判断函数的奇偶性;(2)试求方程在闭区间[-2005,2005]上根的个数并证明你的结论。分析:由可得:函数图象既关于x=2对称,又关于x=7对称

2、,进而可得到函数周期,然后再继续求解,而本题关键是要首先明确函数的对称性,因此,熟悉函数对称性是解决本题的第一步。命题1函数的图像关于直线x=a对称的充要条件是或。证明:设是上任一点,则。由P关于直线x=a的对称点为。(必要性)若关于直线x=a对称,则Q也在上,故,。(充分性略)。推论函数的图像关于y轴对称的充要条件是。命题2函数的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是。证明(略)推论函数的图像关于原点O对称的充要条件是。偶函数、奇函数分别是命题1,命题2的特例。命题3(1)若函数的图像同时关于点A(a,c)和点B

3、(b,c)成中心对称(),则是周期函数,且是其一个周期。证明:函数的图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称,则,,所以,所以是它的一个周期。(2)、若一个函数的图象有两条不同的对称轴,分别为x=m,x=n,那么这个函数是周期函数。证:因为函数的对称轴为x=m,x=n(m≠n),则(1),(2),分别将x=m-x,x=n-x代入(1)(2),则有,,则,所以是周期函数,周期为2(m-n)。(3)若函数的图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称(),则是周期函数,且是其一个周期。证明:因

4、为函数的图像关于点A(a,c)成中心对称,所以代得:又因为函数的图像关于直线成轴对称,所以代入(*)得:(**),用代得第3页共3页函数的奇偶性、周期性和对称性代入(**)得:,故是周期函数,且是其一个周期。例1定义在R上的非常数函数满足:为偶函数,且,则一定是()A.是偶函数,也是周期函数;B.是偶函数,但不是周期函数C.是奇函数,也是周期函数;D.是奇函数,但不是周期函数解:因为为偶函数,所以。所以有两条对称轴,因此是以10为其一个周期的周期函数,所以x=0即y轴也是的对称轴,因此还是一个偶函数。故选(A)。例

5、2设是定义在R上的偶函数,且,当时,,则___________解:因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以的对称轴;又因为,所以也是的对称轴,故是以2为周期的周期函数,所以。例3函数的图像的一条对称轴的方程是()解:函数的图像的所有对称轴的方程是,所以,显然取时的对称轴方程是,故选(A)。例4设是定义在R上的奇函数,且的图象关于直线,则:_____________解:函数的图像既关于原点对称,又关于直线对称,所以周期是2,又,图像关于对称,所以,所以例5已知定义在R上的单调函数f(x)满足:f(x+y)=f(x)+f

6、(y),且f(1)=2。(1)求证:f(x)为奇函数;(2)当t>2时,不等式f(k·log2t)+f(log2t-logt-2)<0恒成立,求实数k的取值范围.解(1)令x=y=0f(0)=2f(0)f(0)=0,又令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x)故f(-x)=-f(x),即f(x)为奇函数.(2)∵f(0)=0,f(1)=2,知f(x)在R上单调增,故由f(k·log2t)<-f(log2t-logt-2)得:k·log2t0Δ=(k

7、+1)2-8<0-1-2

8、知奇函数f(x)在区间[-b,-a]上单调减且最小值为2004,则g(x)=-

9、f(x)

10、在[a,b]上()A.单调减且最大值为-2004B.单调增且最小值为-2004C.单调减且最小值为-2004D.单调增且最大值为-20044、已知f(x)=x3+bx2+cx是R上的奇函数,动点P(b,c)描绘的图形是()A.椭圆B.抛物线C.直线D.双曲线

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