例析函数奇偶 对称性与周期性

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1、函数的奇偶性、周期性和对称性函数的奇偶性、周期性和对称性的关系055350河北隆尧一中焦景会函数的性质主要是指函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性，它们准确的刻画了函数自身的规律性。掌握函数的这四个性质对于解决函数问题很有帮助。现在探讨以下函数的对称性、奇偶性及周期性这三个方面的关系。由一道高考题目说起。（2005年广东卷I）设函数，，且在闭区间［0，7］上只有。（1）试判断函数的奇偶性；（2）试求方程在闭区间［－2005，2005］上根的个数并证明你的结论。分析：由可得：函数图象既关于x＝2对称，又关于x＝7对称

2、，进而可得到函数周期，然后再继续求解，而本题关键是要首先明确函数的对称性，因此，熟悉函数对称性是解决本题的第一步。命题1函数的图像关于直线x＝a对称的充要条件是或。证明：设是上任一点，则。由P关于直线x＝a的对称点为。（必要性）若关于直线x＝a对称，则Q也在上，故，。（充分性略）。推论函数的图像关于y轴对称的充要条件是。命题2函数的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是。证明（略）推论函数的图像关于原点O对称的充要条件是。偶函数、奇函数分别是命题1，命题2的特例。命题3（1）若函数的图像同时关于点A（a，c）和点B

3、（b，c）成中心对称（），则是周期函数，且是其一个周期。证明：函数的图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称，则，，所以，所以是它的一个周期。（2）、若一个函数的图象有两条不同的对称轴，分别为x=m，x=n，那么这个函数是周期函数。证：因为函数的对称轴为x=m，x=n(m≠n)，则(1)，(2)，分别将x=m-x，x=n-x代入(1)(2)，则有，，则，所以是周期函数，周期为2(m-n)。（3）若函数的图像既关于点A（a，c）成中心对称又关于直线x＝b成轴对称（），则是周期函数，且是其一个周期。证明：因

4、为函数的图像关于点A（a，c）成中心对称，所以代得：又因为函数的图像关于直线成轴对称，所以代入（*）得：（**），用代得第3页共3页函数的奇偶性、周期性和对称性代入（**）得：，故是周期函数，且是其一个周期。例1定义在R上的非常数函数满足：为偶函数，且，则一定是（）A.是偶函数，也是周期函数；B.是偶函数，但不是周期函数C.是奇函数，也是周期函数；D.是奇函数，但不是周期函数解：因为为偶函数，所以。所以有两条对称轴，因此是以10为其一个周期的周期函数，所以x＝0即y轴也是的对称轴，因此还是一个偶函数。故选（A）。例

5、2设是定义在R上的偶函数，且，当时，，则___________解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以的对称轴；又因为，所以也是的对称轴，故是以2为周期的周期函数，所以。例3函数的图像的一条对称轴的方程是（）解：函数的图像的所有对称轴的方程是，所以，显然取时的对称轴方程是，故选（A）。例4设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线，则：_____________解：函数的图像既关于原点对称，又关于直线对称，所以周期是2，又，图像关于对称，所以，所以例5已知定义在R上的单调函数f(x)满足：f(x+y)=f(x)+f

6、(y)，且f(1)=2。(1)求证：f(x)为奇函数；(2)当t>2时，不等式f(k·log2t)+f(log2t-logt-2)<0恒成立，求实数k的取值范围.解(1)令x=y=0f(0)=2f(0)f(0)=0，又令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x)故f(-x)=-f(x)，即f(x)为奇函数.(2)∵f(0)=0，f(1)=2，知f(x)在R上单调增，故由f(k·log2t)<-f(log2t-logt-2)得：k·log2t0Δ=(k

7、+1)2-8<0-1-2

8、知奇函数f(x)在区间［-b，-a］上单调减且最小值为2004，则g(x)=-

9、f(x)

10、在［a，b］上()A.单调减且最大值为-2004B.单调增且最小值为-2004C.单调减且最小值为-2004D.单调增且最大值为-20044、已知f(x)=x3+bx2+cx是R上的奇函数，动点P(b，c)描绘的图形是()A.椭圆B.抛物线C.直线D.双曲线