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1、数值计算方法与算法教学目标掌握常用的数值计算方法掌握计算方法的数学原理学会选择恰当的计算方法学会使用流行的计算软件教学计划时间：7:50-8:35地点：21062-27绪论3-06多项式插值3-13多项式插值3-20分段和样条插值3-27数值微分4-03数值积分4-10数值积分4-17最小二乘法4-24方程求根5-01五一放假5-08方程求根5-15求解线性方程组5-22求解线性方程组5-29计算矩阵特征值6-05计算矩阵特征值6-12微分方程数值解6-19微分方程数值解6-26复习7-04期末考试7-13报送成绩教材及参考数值计算方法与算法，张韵华、奚梅成、陈效群编，科学出版社，2
2、006。科学计算导论，MichaelT.Heath著，张威、贺华、冷爱萍译，清华大学出版社，2005。数值计算方法解题指导，张韵华编，科学出版社，2003。网络教学资源http://bb.ustc.edu.cn联系方式教师：王新茂xinmao@ustc.edu.cn理化大楼16#016，3607565助教：杨 荣rongyang@mail.ustc.edu.cn136-15607693第0章绪论数学建模数值计算实际问题 数学问题 近似解什么是数值计算方法？什么是“好的”数值计算方法？误差小─误差分析耗时少─复杂度分析抗干扰─稳定性分析误差的类型绝对误差＝真实值－近似值相对
3、误差＝绝对误差／真实值误差的来源原始误差、截断误差、舍入误差输入计算输出真实值近似值一些例子：计算地球的体积计算计算如何减小计算误差？选择好的算法、提高计算精度范数的定义满足非负性,齐次性,三角不等式的实函数常用的向量范数常用的矩阵范数矩阵的谱半径例：计算矩阵的范数和谱半径。例：范数在误差估计中的应用作业一、145页习题6第1,2题.作业二、利用公式编写两个计算ex的C程序(一个用单精度,另一个用双精度).令x=±1,±5,±10,±15,±20,比较它们和库函数exp(x)之间的运行时间和计算误差.思考如何减小误差？第1章插值函数逼近用未知函数f(x)的值构造近似函数φ(x)。要求
4、误差小、形式简单、容易计算。常用的函数逼近方法插值：φ(xi)=yi,i=0,1,…,n.拟合：
5、
6、φ(x)-f(x)
7、
8、尽可能小通常取φ(x)=a0φ0(x)+…+anφn(x)，其中{φi(x)}为一组基函数。多项式插值给定平面上n+1个插值点(xi,yi),构造n次多项式φ(x),满足φ(xi)=yi,i=0,1,…,n.单项式插值Lagrange插值Newton插值差商表012…n…0…1…2……......nk阶差商差商的性质以x0,…,xn为节点的n次插值多项式φ(x)的首项系数等于f[x0,…,xn]。证明：分别以x0,…,xn-1和x1,…,xn为节点构造n-1次插值
9、多项式φ1(x)和φ2(x)，则有 对n用归纳法。f[x0,…,xn]与x0,…,xn的顺序无关。误差估计：证明：设，则有n+2个零点。根据中值定理，存在于是。Hermite插值给定平面上n+1个插值点(xi,yi,mi),构造2n+1次多项式φ(x),满足φ(xi)=yi,φ’(xi)=mi,i=0,1,…,n.单项式 基函数Lagrange基函数误差估计：证明：设，则有2n+3个零点。根据中值定理，存在于是。Runge现象：并非插值点取得越多越好。解决办法：分段插值三次样条插值给定平面上n+1个插值点(xi,yi),构造分段三次多项式φ(x),满足φ(xi)=yi,φ’(x)可
10、微，φ”(x)连续。作业一、习题1第2,4,6,8,10,12,14,16题。作业二、在半圆上随机选取10个点,构造插值多项式,画出函数图像,并比较3种插值方法的计算误差。作业三、思考3种插值系数之间的关系。比较3种插值方法的优缺点和应用范围。第2章数值微分和数值积分数值微分差商法向前差商向后差商中心差商插值法 在x附近取点(xi,f(xi))构造插值多项式φ。样条法 在x附近取点(xi,f(xi))构造样条函数φ。f’(x)≈φ’(x)例：用中心差商公式计算f’(xi)。例：用向后差商公式计算f’’(0.2),f’’(0.4)。x0.00.10.20.30.4f(x)1.71.51
11、.62.01.9f’(x)f”(x)x0.00.10.20.30.4f(x)0.8187310.9048371.0000001.1051711.221403f’(x)例：设xi=x0+i*h,i=1,...,n。计算φ’(xk)。解：误差估计前后差商 中心差商 插值微分数值积分插值法若积分公式对任意m次多项式都取等号，则称积分公式具有至少m阶的代数精度。插值型积分公式的代数精度≥n。当积分节点x0,...,xn给定时， 代数精度≥n的积分公式唯一。例：设x
