浅谈《高等数学》与《线性代数》课程的相通性

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1、浅谈《高等数学》与《线性代数》课程的相通性《高等数学》和《线性代数》这两门课的内容差异大，但也有不少知识点具有相同性，很多方法和结论相互渗透，本文探讨了《高等数学》与《线性代数》课程内容的一些相通性。随着科学技术的发展和计算机的广泛应用，《高等数学》和《线性代数》的作用越来越重要，它们是高等院校培养应用型人才重要的数学基础课。《高等数学》主要学习的是微积分方面的知识，《线性代数》主要学习的是几何方面的知识。由于课程内容的不同，部分高校在课程安排上往往一个教师要么只教《高等数学》，要么只教《线性代数》，从而在教学时往往忽略了引导学生去思考这两门课程中的一些

2、相通性。实际上，看似两门完全不同的课程之间实有许多相通之处，而让学生了解和掌握这些相通性不但有利于更好地掌握这两门课程，而且还可以培养学生发现、思考和总结的能力，所学知识真正做到融会贯通。几年来，笔者一直在教学一线，既承担《高等数学》的教学，也承担《线性代数》的教学。在教学实践中，笔者发现和总结了一些这两门课程的相通性，下面介绍几点。一、《高等数学》和《线性代数》课程中部分定义和结论的相通性4.方程解的结构。在《线性代数》中，当非齐次线性方程组Ax=b有无穷解时，其解可以表示为对应齐次方程组Ax=0的通解加上非齐次线性方程组Ax=b的一个特解。在《高等数

3、学》中，非齐次线性微分方程的通解也有类似的结构，即也可表示成对应齐次微分方程的通解加上非齐次微分方程的特解。线性方程组和线性微分方程除了解结构类似外，解的性质也完全一样。二、《高等数学》和《线性代数》课程中部分量运算的相通性在《线性代数》中有一个重要的量——矩阵，故对矩阵的运算作了大量的介绍，有矩阵的加法、矩阵的减法、矩阵的乘法，但是没有矩阵的除法这一说法。在《高等数学》中，极限部分有个关键量无穷小，两个无穷小相加、相减、相乘仍然是无穷小，但是两个无穷小相除不一定是无穷小。这个特点和矩阵的运算特点类似，即对除法运算的特殊性。矩阵无除法运算，无穷小相除不一

4、定为无穷小，它们虽然没有除法运算或性质对除法运算的不成立性，但是它们都有特殊的运算来代替，矩阵有矩阵的逆运算，无穷小可以通过相除来比较无穷小的阶数。三、《高等数学》和《线性代数》课程对学生逆向思维培养的相通性逆向思维是从原问题的相反方向、否定方向或已有思路的相反方向进行思考的一种思维。它反映了思维过程的间断性、突变性和多向性，有利于培养思维的灵活性，常常可以帮助学生寻找新的思路、新的方法，开拓新的知识领域。在《高等数学》和《线性代数》课程中，都大量存在对定理、结论的逆否命题的采用，因而两门课程在培养学生的逆向思维能力方面具有相通性。我们来看几个例子。命题

5、1：如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则齐次线性方程组只有零解。而在实际的解题过程中，往往用其逆否命题：如果齐次线性方程组有非零解，则齐次线性方程组的系数行列式等于0。命题2：如果向量组中有一部分向量(部分组)线性相关，则整个向量组线性相关。在向量组中相关性判断中，也常常用到其逆否命题形式。线性无关的向量组中的任何一部分组皆线性无关。再比如，若向量组线性无关，则其升维组也线性无关。其逆否命题：若一个向量组线性相关，则其降维组也线性相关。这些结论在线性代数学习中是比较难以区分的，若弄清楚两两之间的关系，不但有利于逆向思维的培养，而且学习起来也会事半功

6、倍。上面只是列举了这两门课程中的几个例子，实际这种逆向思维的训练在两门课程中还有很多。文献[1]中还介绍了利用反例、反问题等来培养学生的逆向思维。线性代数与高等数学是大学数学的两门重要基础课，虽然这两门课解题方法有些差异，却密切相关。除了上面介绍的几个方面外，还在很多方面都有内在的渗透[2-7]。例如二次型在函数极值、不等式中有着重要的应用，线性空间理论也可用于数列极限的求解，矩阵、行列式在高等数学中的向量积、混合积、旋度、Stokes公式等知识点中都有具体的应用。而另一方面，高等数学中的许多内容，譬如函数的连续性、导数等都可广泛地应用于线性代数众多章节

7、之中。教师在教学过程中应该抓住这些相通性及相互渗透的知识点，将这两门课的内容更好地交叉、融合。：向文黄友霞：教育教学论坛2016年32期