高中数学不等式归纳讲解

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1、第三章不等式　　定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。3-1不等式的最基本性质①对称性：如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y；②传递性：如果x＞y，y＞z；那么x＞z；③加法性质；　如果x＞y，而z为任意实数，那么x＋z＞y＋z；④乘法性质：　如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz;（符号法则）3-2不等式的同解原理　①不等式F（x）＜G（x）与不等式G（x）＞F（x）同解。　②如果不等式F（x）＜G（x）的定义域被解析式H（x）的定义域所包含，那么不等式F（x）

2、＜G（x）与不等式F（x）＋H（x）＜G（x）＋H（x）同解。　　③如果不等式F（x）＜G（x）的定义域被解析式H（x）的定义域所包含，并且H（x）＞0，那么不等式F(x)＜G（x）与不等式H（x）F（x）＜H（x）G（x）同解；如果H（x）＜0，那么不等式F（x）＜G（x）与不等式H(x)F（x）＞H（x）G（x）同解。　④不等式F（x）G（x）＞0与不等式或同解不等式解集表示方式F(x)>0的解集为x大于大的或x小于小的F(x)<0的解集为x大于小的或x小于大的3-3重要不等式3-3-1均值不等式　　1、调和

3、平均数：　　2、几何平均数：　　3、算术平均数：　　4、平方平均数：　　这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn　　a1、a2、…、an∈R+，当且仅当a1=a2=…=an时取“=”号3-3-1-1均值不等式的变形(1)对正实数a,b，有(当且仅当a=b时取“=”号)(2)对非负实数a,b，有　　(6)对非负数a,b，有(7)若，有≥（等号仅当时成立）　　(8)对非负数a,b,c，有　　(9)对非负数a,b，3-3-1-1最值定理当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和有最小值。均值不等式

4、求最值主要方法：常见构造条件的变换：加项变换，系数变换，平方变换，拆项变换，常量代换，三角代换等.当使用均值定理时等号不能成立时，应考虑函数的单调性（例如“对号”函数，导数法）.3-3-2权方和不等式　　a,b,n为正整数。m为正数。3-4绝对值不等式

5、+

6、≤

7、

8、+

9、

10、3-5不等式例题解析3-5-1绝对值不等式1、求的解2、右边的常数变为代数式(1)

11、+1

12、>2－；(2)

13、－2－6

14、<3形如

15、

16、<，

17、

18、>型不等式这类不等式的简捷解法是等价命题法，即：①

19、

20、<－<<②

21、

22、>>或<－3、两个绝对值不等式解不等式（1）

23、

24、－1

25、<

26、+

27、；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5.形如

28、

29、<

30、

31、型不等式1）此类不等式的简捷解法是利用平方法，即：

32、

33、<

34、

35、<02）所谓零点分段法，是指：若数，，……，分别使含有

36、－

37、，

38、－

39、，……，

40、－

41、的代数式中相应绝对值为零，称，，……，为相应绝对值的零点，零点，，……，将数轴分为+1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号

42、的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。例题．不等式

43、x+3

44、-

45、2x-1

46、<+1的解集为。解：

47、x+3

48、-

49、2x-1

50、=4、含参数绝对值不等式解关于x的不等式［解题］原不等式等价于当即时，∴当即时，∴x¹-6当即时，xÎR方法归纳：形如

51、

52、<，

53、

54、>()型不等式此类不等式的简捷解法是等价命题法，即：①当>0时，

55、

56、<－<<；

57、

58、>>或<－；②当=0时，

59、

60、<无解，

61、

62、>≠0①当<0时，

63、

64、<无解，

65、

66、>有意义。4、含参数绝对值不等式有解、解集为空和恒成

67、立的问题若不等式

68、－4

69、+

70、3－

71、<的解集为空集，求的取值范围。［思路］此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式

72、+

73、≤

74、

75、+

76、

77、，便把问题简化。［解题］解法一(1)当≤0时，不等式的解集是空集。(2)当>0时，先求不等式

78、－4

79、+

80、3－

81、<有解时的取值范围。令－4=0得=4

82、，令3－=0得=3①当≥4时，原不等式化为－4+－3<，即2－7<解不等式组，∴>1②当3<<4时，原不等式化为4－+－3<得>1③当≤3时，原不等式化为4－+3－<即7－2<解不等式，∴>1综合①②③可知，当>1时，原不等式有解，从而当0<≤1时，原不等式解集为空集。由(1)(2)知所求取值范围是≤1解法二由

83、－4

84、+

85、3－

86、的最小值为1得当>1时，

87、－4

88、+

89、3－

90、<