自动控制原理3-2稳定性和误差

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1、3.5线性系统的稳定性分析3.5.1稳定的概念和线性系统稳定的充要条件如果系统受到有界扰动，不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能以足够的准确度恢复到初始平衡状态，则这种系统称为大范围稳定的系统；如果系统受到有界扰动，只有当扰动引起的初始偏差小于某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态，否则就不能恢复到初始平衡状态，则称为小范围稳定的系统。12对于稳定的线性系统，它必然在大范围内和小范围内都能稳定，只有非线性系统才可能有小范围稳定而大范围不稳定的情况。3线性控制系统稳定性的定义如下：若线性控制系统在初始扰动(t)的影响下，其过

2、渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零，则称系统为稳定。反之，则为不稳定。线性系统的稳定性只取决于系统自身固有特性，而与输入信号无关。根据定义输入(t)，其输出为脉冲过渡函数g(t)。如果当t→∞时，g(t)收敛到原来的平衡点，即有那么，线性系统是稳定的。4线性系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说，闭环传递函数的极点均位于s左半平面（不包括虚轴）。根据稳定的充要条件决定系统的稳定性，必须知道系统特征根的全部符号。如果能解出全部根，则立即可判断系统的稳定性。然而对于高阶系统，求根的工作量很大，常常希望使用一种直接判断根是否

3、全在s左半平面的代替方法，下面就介绍劳斯代数稳定判据。不失一般性，设n阶系统的闭环传递函数为53.5.2线性系统的代数稳定判据首先给出系统稳定的必要条件：设线性系统的闭环特征方程为式中，a0>0,si（i=1,2,,n）是系统的n个闭环极点。根据代数方程的基本理论，下列关系式成立：6从上式可以导出，系统特征根都具有负实部的必要条件为：aiaj>0(i,j=1,2,,n)即闭环特征方程各项同号且不缺项。如果特征方程不满足上式的条件，系统必然非渐近稳定。但满足上式，还不能确定一定是稳定的，因为上式仅是必要条件。下面给现系统稳定的充分必要条件。1.劳斯判

4、据系统稳定的充要条件是：该方程式的全部系数为正，且由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都要是正的；劳斯表中第一列元素符号改变的次数，等于相应特征方程式位于右半s平面上根的个数。7表中：1）最左一列元素按s的幂次排列，由高到低，只起标识作用，不参与计算。2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。3）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。a0a2a4…a1a3a5…c1c2c3…┋…cn(an)snsn−1sn−2┋s1s0(i3,j=1,2,)82.劳斯判据的应用（1）判断系统的稳定性例3-5设有下列特征方程D(s)=s4+2s3+3

5、s2+4s+5=0试用劳斯判据判别该特征方程的正实部根的数目。解：劳斯表第一列元素符号改变了2次，∴系统不稳定，且s右半平面有2个根。s4s3s2s1s01352461559例3-6系统的特征方程为D(s)=s33s+2=0试用劳斯判据确定正实数根的个数。解：系统的劳斯表为第一种特殊情况：劳斯表中某行的第一列元素为零，而其余各项不为零，或不全为零。对此情况，可作如下处理：s3s2s1s01302∞①用一个很小的正数ε来代替第一列为零的项，从而使劳斯表继续下去。②可用因子（s+a）乘以原特征方程，其中a可为任意正数，再对新的特征方程应用劳斯判据。1

6、0∵ε→0+时，b1<0，劳斯表中第一列元素符号改变了两次∴系统有两个正根，不稳定。（s+3）乘以原特征方程，得新的特征方程为：D1(s)=D(s)(s+3)=s4+3s33s27s+6=0s3s2s1s0130(ε)22s4s3s2s1s0136372/3620611例3-7设某线性系统的闭环特征方程为D(s)=s4+s33s2s+2=0试用劳斯判据判断系统稳定性。解:该系统的劳斯表如下第二种特殊情况：劳斯表中某行元素全为零。此时，特征方程中存在对原点对称的根（实根，共轭虚根或共轭复数根）。对此情况，可作如下处理：s4s3s2s1s0

7、13211220012由于劳斯表中第一列元素的符号改变了两次，∴系统有两个正根，系统不稳定。关于对原点对称的根，可解辅助方程求出。得s1=1和s2=1。对本例题，可用长除法求出另二个根，分别为s3=1和s4=2。用全为零上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行，继续劳斯表。s4s3s2s1s0132112242F(s)=2s2+2F(s)=4s13（2）分析参数变化对稳定性的影响例3-8已知系统结构图如下，试确定使系统稳定时K的取值范围。解：系统特征方程式s3+3s2+2s+K=0要使系统稳定

8、，劳斯表中第一列元素均大于零。0