高考数学大二轮总复习与增分策略-专题四 数列、推理与证明 第1讲 等差数列与等比数列练习 理

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1、第1讲　等差数列与等比数列1．(2016·课标全国乙)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100等于(　　)A．100B．99C．98D．97答案　C解析　由等差数列性质，知S9＝＝＝9a5＝27，得a5＝3，而a10＝8，因此公差d＝＝1，∴a100＝a10＋90d＝98，故选C.2．(2016·北京)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.答案　6解析　∵a3＋a5＝2a4＝0，∴a4＝0.又a1＝6，∴a4＝a1＋3d＝0，∴d＝－2.∴S6＝6×6＋×(－2)＝6.3．(2016·江

2、苏)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．答案　20解析　设等差数列{an}公差为d，由题意可得：解得则a9＝a1＋8d＝－4＋8×3＝20.4．(2016·课标全国乙)设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为__________．答案　64解析　设等比数列{an}的公比为q，∴⇒解得∴a1a2…an＝(－3)＋(－2)＋…＋(n－4)∵n∈N*，∴当n＝3或4时，取到最小值－6，13此时取到最大值26＝64，∴a1a2…an的最大值为64.1.等差、等比数列

3、基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力.热点一　等差数列、等比数列的运算1．通项公式等差数列：an＝a1＋(n－1)d；等比数列：an＝a1·qn－1.2．求和公式等差数列：Sn＝＝na1＋d；等比数列：Sn＝＝(q≠1)．3．性质若m＋n＝p＋q，在等差数列中am＋an＝ap＋aq；在等比数列中am·an＝ap·aq.例1　(1)已知数列{an}中，a3＝，a7＝，且是等差数列，则a5等于(　　)A.B.C.D.(2)已知等比数列{an}的各项都为正数，其前n

4、项和为Sn，且a1＋a7＝9，a4＝2，则S8等于(　　)A．15(1＋)B．15C．15D．15(1＋)或15(1＋)答案　(1)B　(2)D解析　(1)设等差数列的公差为d，则＝＋4d，∴＝＋4d，解得d13＝2.∴＝＋2d＝10，解得a5＝.(2)由a4＝2，得a1a7＝a＝8，故a1，a7是方程x2－9x＋8＝0的两根，所以或因为等比数列{an}的各项都为正数，所以公比q>0.当时q＝＝，所以S8＝＝15(1＋)；当时，q＝＝，所以S8＝＝15.故选D.思维升华　在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的

5、方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．跟踪演练1　(1)(2015·浙江)已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________.(2)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，a1＋a2＝1，a3＋a4＝2，则log2＝________.答案　(1)　－1　(2)1006解析　(1)∵a2，a3，a7成等比数列，∴a＝a2a7，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，∴a1＝－d.∵2a1＋a2＝1，∴2a1＋a1＋d＝1，即3a1＋d＝1，∴a1＝，d＝－1.

6、(2)在等比数列中，(a1＋a2)q2＝a3＋a4，即q2＝2，所以a2013＋a2014＋a2015＋a2016＝(a1＋a2＋a3＋a4)q2012＝3×21006，所以log2＝1006.热点二　等差数列、等比数列的判定与证明数列{an}是等差数列或等比数列的证明方法13(1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法：①利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数；②利用中项性质，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．(2)证明{an}是等比数列的两种基本方法：①利用定义，证明(n∈N*)为一常数；②利用等比中项，即证明a＝an－1an＋1(n≥2

7、)．例2　已知数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且满足an＋Sn＝2n＋1.(1)求证：数列{an－2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；(2)求证：＋＋…＋<.证明　(1)∵an＋Sn＝2n＋1，令n＝1，得2a1＝3，a1＝.∵an＋Sn＝2n＋1，∴an－1＋Sn－1＝2(n－1)＋1(n≥2，n∈N*)．两式相减，得2an－an－1＝2，整理an＝an－1＋1，an－2＝(an－1－2)(n≥2)，∴数列{an－2}是首项为a1－2＝－，公比为的等比数列，∴an－2＝－n，∴an＝2－.(2)∵＝＝＝－，∴＋＋…＋＝(－)＋(－)＋…＋(－)

8、＝－<.思