高考数学大二轮总复习与增分策略-第四篇 回归教材 纠错分析5 立体几何练习 理

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1、5．立体几何1．几何体的三视图排列规则：俯视图放在正(主)视图下面，侧(左)视图放在正(主)视图右面，“长对正，高平齐，宽相等．”由几何体的三视图确定几何体时，要注意以下几点：(1)还原后的几何体一般为较熟悉的柱、锥、台、球的组合体．(2)注意图中实、虚线，实际是原几何体中的可视线与被遮挡线．(3)想象原形，并画出草图后进行三视图还原，把握三视图和几何体之间的关系，与所给三视图比较，通过调整准确画出原几何体．[问题1]　如图，若一个几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图均为面积等于2的等腰直角三角形，则该几何

2、体的体积为________．答案　2．空间几何体表面积和体积的求法几何体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，求几何体的体积常用公式法、割补法、等积变换法．[问题2]　如图所示，一个空间几何体的正(主)视图和俯视图都是边长为1的正方形，侧(左)视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为(　　)A．4πB．3πC．2πD.π答案　D3．空间平行问题的转化关系14平行问题的核心是线线平行，证明线线平行的常用方法有：三角形的中位线、平行线分线段成比例(三角形相似)、平行四边形等．[问题3

3、]　判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”号，错误的画“×”号．(1)如果a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面．(　　)(2)如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行．(　　)(3)如果直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b.(　　)(4)如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α.(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√4．空间垂直问题的转化关系垂直问题的核心是线线垂直，证明线线垂直的常用方法有：等腰三角形底边上的中线、勾股定理、

4、平面几何方法等．[问题4]　已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数是(　　)A．3B．2C．1D．0答案　C5．多面体与球接、切问题的求解策略(1)涉及球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体

5、中元素间的关系，或只画内接、外切的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4R2＝a2＋b2＋c2求解．14[问题5]　一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是，那么这个三棱柱的体积是(　　)A．96B．16C．24D．48答案　D解析　如图，设球的半径为R，由πR3＝，得R＝2.所

6、以正三棱柱的高h＝4.设其底面边长为a，则·a＝2，所以a＝4，所以V＝×(4)2×4＝48.6．求平面的法向量的方法(1)性质法：根据线面垂直的判定找出与平面垂直的直线，则此直线的方向向量就是平面的法向量．(2)赋值法：在平面内取两个不共线向量，设出平面的法向量建立方程组，通过赋值求出其中的一个法向量．7．“转化法”求空间角(1)设两条异面直线a，b所成的角为θ，两条直线的方向向量分别为a，b.因为θ∈(0，]，故有cosθ＝

7、cos〈a，b〉

8、＝

9、

10、.(2)设直线l和平面α所成的角为θ，l是斜线l的方向向量，

11、n是平面α的法向量，则sinθ＝

12、cos〈l，n〉

13、＝

14、

15、.(3)设二面角α—l—β的大小为θ，n1，n2是二面角α—l—β的两个半平面的法向量，则

16、cosθ

17、＝

18、cos〈n1，n2〉

19、，两个角之间的关系需要根据二面角的取值范围来确定．14[问题6]　在三棱锥P—ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．解　∵OP⊥平面ABC，OA＝OC，AB＝BC，∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP.以O为原点，射线OP为z轴正方向，OA为

20、x轴正方向，OB为y轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz(如图)．设AB＝a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，设OP＝h，则P(0,0，h)，由PA＝AB，则PA＝2a，则P＝(0,0,a)，＝(a,0，－a)．可求得平面PBC的一个法向量为n＝(1，－1，－)，∴cos〈，n〉＝＝，设PA与平面PBC所成的角为θ，则sinθ＝

21、cos〈，n〉

22、