资源描述：
《第四组合数学》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四章Pólya定理群的概念置换群循环、奇循环与偶循环Burnside引理Pólya定理例母函数型的Pólya定理图的计数4.1群的概念(1)群定义给定集合G和G上的二元运算·，满足下列条件称为群。(a)封闭性：若a,b∈G,则存在c∈G,使得a·b=c.(b)结合律成立：任意a,b,c∈G,有(a·b)·c=a·(b·c).(c)有单位元：存在e∈G,任意a∈G.a·e=e·a=a.(d)有逆元：任意a∈G,存在b∈G,a·b=b·a=e.b=a.由于结合律成立，(a·b)·c=a·(b·c)可记做a·b·c.例证明对于a1,a2,…,an的乘积，结合律成立.a·a·
2、…·a=a(共n个a相乘).-1n4.1群的概念(2)简单例子例G={1,-1}在普通乘法下是群。例G={0,1,2,…,n-1}在modn的加法下是群.例二维欧氏空间所有刚体旋转T={Ta}构成群。其中Ta=cosasina-sinacosaTbTa=cosbsinbcosasina-sinbcosb-sinacosa4.1群的概念=cosacosb-sinasinbsinacosb+cosasinb-sinacosb-cosasinbcosacosb-sinasinb=cos(a+b)sin(a+b)=Ta+b-sin(a+b)cos(a+b)从而有(a)封闭性;(
3、b)结合律成立：(TαTβ)Tγ=Tα(TβTγ)=TαTβTγ;(c)有单位元：T0=;(d)有逆元：Ta=T-a=cosa-sinasinacosa10014.1群的概念前两例群元素的个数是有限的，所以是有限群；后一例群元素的个数是无限的，所以是无限群。有限群G的元素个数叫做群的阶,记做
4、G
5、。若群G的任意二元素a,b恒满足ab=ba。称G为交换群，或Abel群。设G是群,H是G的子集,若H在G原有的运算之下也是一个群,则称为G的一个子群。4.1群的概念基本性质单位元唯一e1e2=e2=e1消去律成立ab=ac→b=c,ba=ca→b=c每个元的逆元唯一aa=aa=
6、e,ab=ba=e,aa=ab,a=b(d)(ab….c)=c…ba.c…baab…c=e-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-14.1群的概念(e)G有限，a∈G，则存在最小正整数r，使得a=e.且a=a.r-1r-14.2置换群置换群是最重要的有限群，所有的有限群都可以用之表示。置换：[1,n]到自身的1-1变换。n阶置换。[1,n]目标集。(),a1a2…an是[1,n]中元的一个排列。n阶置换共有n!个，同一置换用这样的表示可有n!个表示法。例如p1=()=()，n阶置换又可看作[1,n]上的一元运算，一元函数。12…na1a2…an123431243142
7、23414.2置换群置换乘法P1=(),P2=()P1P2=()()=()注意：既然先做P1的置换，再做P2的置换就规定了若作为运算符或函数符应是后置的。这与一般习惯的前置不一样。一般而言，对[1,n]上的n阶置换，i[1,n]要写成(i)P1P2，而不是P1P2(i).(i)P有时写成i在上面例中，1→3→2,2→1→4,3→2→3,4→4→1.也可写(1)P1P2=2,(2)P1P2=4,(3)P1P2=3,(4)P1P2=1.P2P1=()()=( )≠P1P2.1234312412343124123443213124243112342431P1P1P2P1P1
8、P2P2P21234432143214213123442314.2置换群置换群具有的性质(a)封闭性()()=()(b)可结合性(()())()=()=()(()())(c)有单位元e=()(d)()=()12…na1a2…ana1a2…anb1b2…bn12…nb1b2…bn12…na1a2…ana1a2…anb1b2…bn12…na1a2…ana1a2…anb1b2…bn12…nc1c2…cnb1b2…bnc1c2…cnb1b2…bnc1c2…cn12…n12…n12…na1a2…ana1a2…an12…n-1定义：置换群[1,n]上的所有n阶置换集合及在其上定义的
9、置换乘法构成的代数系统是一个群，该群成为置换群。4.2置换群(2)例等边三角形的运动群。绕中心转动120，不动，绕对称轴翻转。P1=(),P2=(),P3=(),P4=(),P5=(),P6=()。[1,n]上的所有置换(共n!个)构成一个群，称为对称群，记做Sn.注意：一般说[1,n]上的一个置换群，不一定是指Sn.但一定是Sn的某一个子群。1231231232311233121231321233211232131234.3循环、奇循环与偶循环(a1a2…am)=()称为置换的循环表示。于是()=(14523),()=(132)(45)
