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1、第十一届“希望杯”数学竞赛初二第二试一、选择题：1．－,－,－,－这四个数从小到大的排列顺序是（AA）－<－<－<－（B）－<－<－<－（C）－<－<－<－（D）－<－<－<－2．一个三角形的三条边长分别是a,b,c(a,b,c都是质数)，且a＋b＋c＝16，则这个三角形的形状是（A）直角三角形（B）等腰三角形（C）等边三角形（D）直角三角形或等腰三角形3．已知25x=2000,80y=2000，则等于（A）2（B）1（C）（D）4．设a＋b＋c=0,abc>0，则的值是（A）－3（B）1（C）3或－1（D）
2、－3或15．设实数a、b、c满足a3、c4、<5、b6、<7、a8、，则9、x－a10、＋11、x－b12、＋13、x＋c14、的最小值是（A）（B）15、b16、（C）c－a（D）―c―a6．若一个等腰三角形的三条边长均为整数，且周长为10，则底边的长为（A）一切偶数（B）2或4或6或8（C）2或4或6（D）2或47．三元方程x＋y＋z＝1999的非负整数解的个数有（A）20001999个（B）19992000个（C）2001000个（D）2001999个8．如图1，梯形ABCD中，AB//CD，且CD＝3AB，EF//CD17、，EF将梯形ABCD分成面积相等的两部分，则AE：ED等于（）。（A）2（B）（C）（D）9．如图2，一个边长分别为3cm、4cm、5cm的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD、DC上，那么这个正方形的面积是（）。（A）cm2（B）cm2（C）cm2（D）cm210．已知p＋q＋r＝9，且,则等于（A）9（B）10（C）8（D）7二、填空题：11．化简：=。12．已知多项式2x2＋3xy－2y2－x＋8y－6可以分解为(x＋2y＋m)(2x－y＋n)的形式，那么的值是。18、13．△ABC中，AB>AC，AD、AE分别是BC边上的中线和∠A的平分线，则AD和AE的大小关系是ADAE。(填“>”、“<”或“＝”)14．如图3，锐角△ABC中，AD和CE分别是BC和AB边上的高，若AD与CE所夹的锐角是58°，则∠BAC＋∠BCA的大小是。15．设a2－b2＝1＋,b2－c2＝1－，则a4＋b4＋c4－a2b2－b2c2－c2a2的值等于。16．已知x为实数，且x2＋=3，则x3＋的值是。17．已知n为正整数，若是一个既约分数，那么这个分数的值等于。18．如图4，在△ABC中，AC＝19、2，BC＝4，∠ACB＝60°，将△ABC折叠，使点B和点C重合，折痕为DE，则△AEC的面积是。19．已知非负实数a、b、c满足条件：3a＋2b＋c=4,2a＋b＋3c=5，设S＝5a＋4b＋7c的最大值为m，最小值为n，则n－m等于。20．设a、b、c、d为正整数，且a7＝b6,c3＝d2,c－a＝17，则d－b等于。三．解答题：21．已知实数a、b满足条件20、a－b21、＝<1,化简代数式(－)，将结果表示成只含有字母a的形式。22．如图5，正方形ABCD中，AB＝，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE＝322、0°，∠DAF＝15°，求△AEF的面积。23．将编号为1，2，3，4，5的五个小球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中，每个盒子只放入一个，①一共有多少种不同的放法？②若编号为1的球恰好放在了1号盒子中，共有多少种不同的放法？③若至少有一个球放入了同号的盒子中(即对号放入)，共有多少种不同的放法？参考答案一．选择题：题号12345678910答案ABBBDDCCDA二．填空题：题号1112131415答案1－>122°5题号1617181920答案±2－2601三．解答题：21．∵23、a－b24、＝<1，∴a25、、b同号，且a≠0,b≠0,∴a－b－1＝(a-b)-1<0,∴(－)=(－)[1-(a-b)]=.①若a、b同为正数，由<1，得a>b，∴a-b=,a2－ab=b,解得b=,∴(－)==(1－)=－·=－=－.②若a、b同为负数，由<1，得b>a，∴a-b=－,a2－ab=－b,解得b=,∴(－)==(1＋)＝==.综上所述，当a、b同为正数时，原式的结果为－；当a、b同为负数时，原式的结果为22．将△ADF绕A点顺时针方向旋转90°到△ABG的位置，∴AG＝AF，∠GAB＝∠FAD＝15°，∠GAE＝1526、°＋30°＝45°，∠EAF＝90°－(30°＋15°)＝45°，∴∠GAE＝∠FAE，又AE＝AE，∴△AEF≌△AEG，∴EF＝EG，∠AEF＝∠AEG＝60°，在Rt△ABE中，AB＝，∠BAE＝30°，∴∠AEB＝60°，BE＝1，在Rt△EFC中，∠FEC＝180°－(60°＋60°)＝60°，EC＝BC－BE＝－1，EF＝2(－1)，∴EG＝2(－1)，S△AEG＝EG·AB＝3－，∴S
3、c
4、<
5、b
6、<
7、a
8、，则
9、x－a
10、＋
11、x－b
12、＋
13、x＋c
14、的最小值是（A）（B）
15、b
16、（C）c－a（D）―c―a6．若一个等腰三角形的三条边长均为整数，且周长为10，则底边的长为（A）一切偶数（B）2或4或6或8（C）2或4或6（D）2或47．三元方程x＋y＋z＝1999的非负整数解的个数有（A）20001999个（B）19992000个（C）2001000个（D）2001999个8．如图1，梯形ABCD中，AB//CD，且CD＝3AB，EF//CD
17、，EF将梯形ABCD分成面积相等的两部分，则AE：ED等于（）。（A）2（B）（C）（D）9．如图2，一个边长分别为3cm、4cm、5cm的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD、DC上，那么这个正方形的面积是（）。（A）cm2（B）cm2（C）cm2（D）cm210．已知p＋q＋r＝9，且,则等于（A）9（B）10（C）8（D）7二、填空题：11．化简：=。12．已知多项式2x2＋3xy－2y2－x＋8y－6可以分解为(x＋2y＋m)(2x－y＋n)的形式，那么的值是。
18、13．△ABC中，AB>AC，AD、AE分别是BC边上的中线和∠A的平分线，则AD和AE的大小关系是ADAE。(填“>”、“<”或“＝”)14．如图3，锐角△ABC中，AD和CE分别是BC和AB边上的高，若AD与CE所夹的锐角是58°，则∠BAC＋∠BCA的大小是。15．设a2－b2＝1＋,b2－c2＝1－，则a4＋b4＋c4－a2b2－b2c2－c2a2的值等于。16．已知x为实数，且x2＋=3，则x3＋的值是。17．已知n为正整数，若是一个既约分数，那么这个分数的值等于。18．如图4，在△ABC中，AC＝
19、2，BC＝4，∠ACB＝60°，将△ABC折叠，使点B和点C重合，折痕为DE，则△AEC的面积是。19．已知非负实数a、b、c满足条件：3a＋2b＋c=4,2a＋b＋3c=5，设S＝5a＋4b＋7c的最大值为m，最小值为n，则n－m等于。20．设a、b、c、d为正整数，且a7＝b6,c3＝d2,c－a＝17，则d－b等于。三．解答题：21．已知实数a、b满足条件
20、a－b
21、＝<1,化简代数式(－)，将结果表示成只含有字母a的形式。22．如图5，正方形ABCD中，AB＝，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE＝3
22、0°，∠DAF＝15°，求△AEF的面积。23．将编号为1，2，3，4，5的五个小球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中，每个盒子只放入一个，①一共有多少种不同的放法？②若编号为1的球恰好放在了1号盒子中，共有多少种不同的放法？③若至少有一个球放入了同号的盒子中(即对号放入)，共有多少种不同的放法？参考答案一．选择题：题号12345678910答案ABBBDDCCDA二．填空题：题号1112131415答案1－>122°5题号1617181920答案±2－2601三．解答题：21．∵
23、a－b
24、＝<1，∴a
25、、b同号，且a≠0,b≠0,∴a－b－1＝(a-b)-1<0,∴(－)=(－)[1-(a-b)]=.①若a、b同为正数，由<1，得a>b，∴a-b=,a2－ab=b,解得b=,∴(－)==(1－)=－·=－=－.②若a、b同为负数，由<1，得b>a，∴a-b=－,a2－ab=－b,解得b=,∴(－)==(1＋)＝==.综上所述，当a、b同为正数时，原式的结果为－；当a、b同为负数时，原式的结果为22．将△ADF绕A点顺时针方向旋转90°到△ABG的位置，∴AG＝AF，∠GAB＝∠FAD＝15°，∠GAE＝15
26、°＋30°＝45°，∠EAF＝90°－(30°＋15°)＝45°，∴∠GAE＝∠FAE，又AE＝AE，∴△AEF≌△AEG，∴EF＝EG，∠AEF＝∠AEG＝60°，在Rt△ABE中，AB＝，∠BAE＝30°，∴∠AEB＝60°，BE＝1，在Rt△EFC中，∠FEC＝180°－(60°＋60°)＝60°，EC＝BC－BE＝－1，EF＝2(－1)，∴EG＝2(－1)，S△AEG＝EG·AB＝3－，∴S
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