高等数学第六版课后全部答案

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2、量Ix,Iy;(2)这曲线弧的重心坐标x,y.解在曲线弧L上任取一长度很短的小弧段ds(它的长度也记做ds),设(x,y)曲线L对于x轴和y轴的转动惯量元素分别为dIx=y2μ(x,y)ds,dIy=x2μ(x,y)ds.曲线L对于x轴和y轴的转动惯量分别为Ix=∫y2μ(x,y)ds,Iy=∫x2μ(x,y)ds.LLwww.khd∫L∫L和L2,则2.利用对弧长的曲线积分的定义证明:如果曲线弧L分为两段光滑曲线L1∫Lf(x,y)ds=∫Ln课x=My∫Lxμ(x,y)dsM∫yμ(x,y)ds=,y=x=L.MMμ(x,y)d

3、sμ(x,y)ds后曲线L的重心坐标为1f(x,y)ds+∫f(x,y)ds.L2证明划分L,使得L1和L2的连接点永远作为一个分点,则∑f(ξi,ηi)Δsi=∑f(ξi,ηi)Δsi+i=1i=1nn1n1答dMx=yμ(x,y)ds,dMy=xμ(x,y)ds.令λ=max{Δsi}→0,上式两边同时取极限λ→0λ→0lim∑f(ξi,ηi)Δsi=lim∑f(ξi,ηi)Δsi+limi=1i=1即得∫Lf(x,y)ds=∫L1f(x,y)ds+∫f(x,y)ds.L23.计算下列对弧长的曲线积分:awi=n1+1曲线L对于

4、x轴和y轴的静矩元素分别为案∑f(ξi,ηi)Δsi.∑f(ξi,ηi)Δsi,nn1λ→0.coi=n1+1为小弧段ds上任一点.网m(1)∫(x2+y2)nds,其中L为圆周x=acost,y=asint(0≤t≤2π);L解∫L(x2+y2)nds=∫02π02π2π(a2cos2t+a2sin2t)n(asint)2+(acost)2dt=∫(a2cos2t+a2sin2t)n(asint)2+(acost)2dt0L解L的方程为y=1x(0≤x≤1);1www.khd110课=∫x1+[(x2)′]2dx+∫x1+(x′)

5、2dx01后∫Lxdx=∫Lxdx+∫Lxdx12=∫x1+4x2dx+∫2xdx=1(55+621).0012x2+y2L(4)∫eds,其中L为圆周x2+y2=a2,直线y=x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界;解L=L1+L2+L3,其中L1:x=x,y=0(0≤x≤a),L2:x=acost,y=asint(0≤t≤π),4L3:x=x,y=x(0≤x≤2a),2因而∫Lea0x2+y2ds=∫eL1x2+y2ds+∫eL2=∫e1+0dx+∫x22π4ea0(asint)+(acost)dt+∫22awx2+y2答解

6、L1:y=x2(0≤x≤1),L2:y=x(0≤x≤1).案(3)∫xdx,其中L为由直线y=x及抛物线y=x2所围成的区域的整个边界;L网∫L(x+y)ds=∫0(x+1x)11+[(1x)′]2dx=∫(x+1x)2dx=2.0ds+∫eL3=ea(2+πa)2.4.co1x2+y2(2)∫(x+y)ds,其中L为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段;ds,02a2e2x12+12dxm=∫a2n+1dt=2πa2n+1.(5)∫Γ1ds,其中Γ为曲线x=etcost,y=etsint,z=et上相应于t从0变到22x+y+z

7、22的这段弧;dy解ds=(dx)2+()2+(dz)2dtdtdtdt=(etcostetsint)2+(etsint+etcost)2+e2tdt=3etdt,211ds=∫2t∫Γx2+y2+z20ecos2t+e2tsin2t+e2t3etdt解Γ=AB+BC+CD,其中AB:x=0,y=0,z=t(0≤t≤1),CD:x=1,y=t,z=2(0≤t≤3),www.khd故=∫0dt+∫0dt+∫2t02+12+02dt=9.000133∫Γx2yzds=∫ABx2yzds+∫BCx2yzds+∫CDx2yzds(7)∫y2

8、ds,其中L为摆线的一拱x=a(tsint),y=a(1cost)(0≤t≤2π);L解∫Ly2ds=∫02π=2a3∫(1cost)21costdt=256a3.015L(8)∫(x2+y2)ds,其中L为曲线x=a(cost+ts