全国高中数学竞赛专题-不等式

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1、全国高中数学竞赛专题-不等式证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的性质分类罗列如下：不等式的性质：这是不等式的定义，也是比较法的依据.对一个不等式进行变形的性质：（1）（对称性）（2）（加法保序性）（3）（4）对两个以上不等式进行运算的性质.（1）（传递性）.这是放缩法的依据.（2）（3）（4）含绝对值不等式的性质：（1）（2）（3）（三角不等式）.（4）证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合

2、法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.因此，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。1．比较法（比较法可分为差值比较法和商值比较法。）（1）差值比较法（原理：A－B＞0A＞B．）例1设a,b,c∈R+，12试证：对任意实数x,y,z,有x2+y2+z2证明：左边-右边=x2+y2+z2所以左边≥右边，不等式成立。（2）商值比较法（原理：若>1，且B>

3、0，则A>B。）例2若a

4、loga(1-x)

5、与

6、loga(1+x)

7、.解：因为1-x1，所以loga(1-x)0,=

8、log(1-x)(1+x)

9、=-log(1-x)(1+x)=log(1-x)>log(1-x)(1-x)=1（因为0<1-x2<1，所以>1-x>0,0<1-x<1）.所以

10、loga(1+x)

11、>

12、loga(1-x)

13、.2．分析法（即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止，叙述方式为：要证……，只需证……。）例3已知a,b,c∈R+，求证：a+b+c-3≥a+b证明：要证a+b+c≥a+b只需证，因为，所以原不等

14、式成立。例4已知实数a,b,c满足00，求证：abc≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)。证明:∵(a+b-c)+(b+c-a)=2b＞0,(b+c-a)+(c+a-b)=2c＞0,(c+a-b)+(a+b-c)=2a＞0,∴a+b-c,b+c-a,c+a-b中至多有一个数非正.(1)当a+b-c,b+c-

15、a,c+a-b中有且仅有一个数为非正时,原不等式显然成立.(2)a+b-c,b+c-a,c+a-b均为正时,则同理三式相乘得abc≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)例6已知△ABC的外接圆半径R=1，S△ABC=，a,b,c是△ABC的三边长，令S=，t=。求证：t>S。解：由三角形面积公式:.正弦定理：a/sinA=2R.可得abc=1.所以2t=2bc+2ac+2ab.由因为a.b.c均大于0。所以2t>=2a+2b+2c=2+2+2=2(++)=2s.所以t>s。4．反证法例7设实数a0,a1,…,an满足a0=an=0，且a0-2a1+a2≥0,a1-

16、2a2+a3≥0,…,an-2-2an-1+an≥0，求证ak≤0(k=1,2,…,n-1).证明：假设ak(k=1,2,…,n-1)中至少有一个正数，不妨设ar是a1,a2,…,an-1中第一个出现的正数，则a1≤0,a2≤0,…,ar-1≤0,ar>0.于是ar-ar-1>0，依题设ak+1-ak≥ak-ak-1(k=1,2,…,n-1)。12所以从k=r起有an-ak-1≥an-1-an-2≥…≥ar-ar-1>0.因为an≥ak-1≥…≥ar+1≥ar>0与an=0矛盾。故命题获证。5．数学归纳法例8对任意正整数n(≥3)，求证：nn+1>(n+1)n.证明：1

17、）当n=3时，因为34=81>64=43，所以命题成立。2）设n=k时有kk+1>(k+1)k，当n=k+1时，只需证(k+1)k+2>(k+2)k+1，即>1.因为，所以只需证，即证(k+1)2k+2>[k(k+2)]k+1，只需证(k+1)2>k(k+2)，即证k2+2k+1>k2+2k.显然成立。所以由数学归纳法，命题成立。6.分类讨论法例9已知x,y,z∈R+，求证：证明：不妨设x≥y,x≥z.ⅰ）x≥y≥z，则，x2≥y2≥z2，由排序原理可得，原不等式成立。ⅱ）x≥z≥y，则，x2≥z2≥y2，由排序原理可得，原不等式成立。7