函数与极限重点知识归纳

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1、常量与变量变量的定义  我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化,我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变量。   注：在过程中还有一种量，它虽然是变化的，但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的，我们则把它看作常量。变量的表示  如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。  在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。区间的名称区间的满足的不等式区间的记号区间在数轴上的表示闭区间a≤x≤b[a，b]开区

2、间a＜x＜b（a，b）半开区间a＜x≤b或a≤x＜b（a，b]或[a，b）以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间：  [a，+∞)：表示不小于a的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞；  (-∞，b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-∞＜x＜b；  (-∞，+∞)：表示全体实数R，也可记为：-∞＜x＜+∞   注：其中-∞和+∞，分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。邻域 设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的

3、中心，δ称为此邻域的半径。函数函数的定义  如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y叫做因变量。  注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示.这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的.  注：如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。

4、这里我们只讨论单值函数。函数的有界性  如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。   注意：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数  例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的.函数的单调性如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有                     ，  则称函数在区间(a,b)内是单调增加的。  如果函数在区间(a,b)

5、内随着x增大而减小，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有                     ，  则称函数在区间(a,b)内是单调减小的。  例题：函数=x2在区间(-∞,0)上是单调减小的，在区间(0,+∞)上是单调增加的。函数的奇偶性  如果函数对于定义域内的任意x都满足                     =，  则叫做偶函数；  如果函数对于定义域内的任意x都满足                    =-，  则叫做奇函数。  注意：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的

6、图形关于原点对称。函数的周期性  对于函数，若存在一个不为零的数l，使得关系式                     对于定义域内任何x值都成立，则叫做周期函数，l是的周期。  注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。  例题：函数是以2π为周期的周期函数；函数tgx是以π为周期的周期函数。反函数反函数的定义  设有函数，若变量y在函数的值域内任取一值y0时，变量x在函数的定义域内必有一值x0与之对应，即，那末变量x是变量y的函数.  这个函数用来表示，称为函数的反函数.   注：由此定义可知，函数也是函

7、数的反函数。反函数的存在定理  若在(a，b)上严格增(减)，其值域为R，则它的反函数必然在R上确定，且严格增(减).  注：严格增(减)即是单调增(减)  例题：y=x2，其定义域为(-∞,+∞)，值域为[0,+∞).对于y取定的非负值,可求得x=±.若我们不加条件，由y的值就不能唯一确定x的值，也就是在区间(-∞,+∞)上，函数不是严格增(减)，故其没有反函数。如果我们加上条件，要求x≥0，则对y≥0、x=就是y=x2在要求x≥0时的反函数。即是：函数在此要求下严格增(减).反函数的性质  在同一坐标平面

8、内，与的图形是关于直线y=x对称的。  例题：函数与函数互为反函数，则它们的图形在同一直角坐标系中是关于直线y=x对称的。如右图所示：                     复合函数的定义  若y是u的函数：，而u又是x的函数：，且的函数值的全部或部分在的定义域内，那末，y通过u的联系也是x的函数，我们称后一个函数是由函数及复合而成的函数，简称复合函数，记作，其中u叫做中间变量。  注：并不是任意