人教版高一数学必修一基本初等函数解析

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1、基本初等函数一．【要点精讲】1．指数与对数运算（1）根式的概念：①定义：若一个数的次方等于，则这个数称的次方根。即若，则称的次方根，1）当为奇数时，次方根记作；2）当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作②性质：1）；2）当为奇数时，；3）当为偶数时，。（2）．幂的有关概念①规定：1）N*；2）；n个3）Q，4）、N*且②性质：1）、Q）；2）、Q）；3）Q）。（注）上述性质对r、R均适用。（3）．对数的概念①定义：如果的b次幂等于N，就是，那么数称以为底N的对数，记作其中称对数的底，N称真数1）以10为底的对数称常用对数，记作；2）以

2、无理数为底的对数称自然对数，，记作；②基本性质：1）真数N为正数（负数和零无对数）；2）；3）；4）对数恒等式：。③运算性质：如果则1）；2）；3）R）④换底公式：1）；2）。2．指数函数与对数函数（1）指数函数：①定义：函数称指数函数，1）函数的定义域为R；2）函数的值域为；3）当时函数为减函数，当时函数为增函数。②函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以轴为渐近线（当时，图象向左无限接近轴，当时，图象向右无限接近轴）；3）对于相同的，函数的图象关于轴对称①，②，③①，②，③，③函数值的变化特征：（2）对数函数

3、：①定义：函数称对数函数，1）函数的定义域为；2）函数的值域为R；3）当时函数为减函数，当时函数为增函数；4）对数函数与指数函数互为反函数②函数图像：1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；2）对数函数都以轴为渐近线（当时，图象向上无限接近轴；当时，图象向下无限接近轴）；4）对于相同的，函数的图象关于轴对称。③函数值的变化特征：①，②，③.①，②，③.（3）幂函数1）掌握5个幂函数的图像特点2）a>0时，幂函数在第一象限内恒为增函数，a<0时在第一象限恒为减函数3）过定点（1，1）当幂函数为偶函数过（-1,1）,当幂函数为奇函数时过（-1

4、，-1）当a>0时过（0，0）4）幂函数一定不经过第四象限四．【典例解析】题型1：指数运算例1．（1）计算：；（2）化简：。解：（1）原式=；（2）原式=。点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。例2．（1）已知，求的值解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴。点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。题型2：对数运算（2）.(江苏省南通市2008

5、届高三第二次调研考试)幂函数的图象经过点，则满足＝27的x的值是.答案例3．计算（1）；（2）；（3）解：（1）原式；（2）原式；（3）分子=；分母=；原式=。点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧例4．设、、为正数，且满足（1）求证：；（2）若，，求、、的值。证明：（1）左边；解：（2）由得，∴……………①由得………………………②由①②得……………………………………③由①得，代入得，∵，∴………………………………④由③、④解得

6、，，从而。点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。题型3：指数、对数方程例5．(江西师大附中2009届高三数学上学期期中)已知定义域为R的函数是奇函数.（1）求a,b的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围.解（1）因为是R上的奇函数，所以从而有又由，解得（2）解法一：由（1）知由上式易知在R上为减函数，又因是奇函数，从而不等式等价于因是R上的减函数，由上式推得即对一切从而解法二：由（1）知又由题设条件得即整理得，因底数2>1，故上式对一切均成立，从而判别式例6．（2008广东理7）设，若函

7、数，有大于零的极值点，则（B）A．B．C．D．【解析】，若函数在上有大于零的极值点，即有正根。当有成立时,显然有,此时，由我们马上就能得到参数的范围为.点评：上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对数因式的普通等式或方程的形式，再来求解。题型4：指数函数的概念与性质例7．设（）A．0　B．1C．2D．3解：C；，。点评：利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值例8．已知试求函数f(x)的单调区间。解：令，则x=，t∈R。所以即，（x∈R）。因为f(－x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，故只需讨论f(x)在[0，+∞）上的单调性

8、。任取，，且使，则（1）当a>1时，由