下学期 4.4 同角三角函数的基本关系式

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1、下学期4.4同角三角函数的基本关系式下学期4.4同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式教学目标：　　1．掌握同角三角函数之间的三组常用关系，平方关系、商数关系、倒数关系．　　2．会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值或化简三角式．教学重点：　　理解并掌握同角三角函数关系式．教学难点：　　已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时正负号的选择；教学用具：　　直尺、投影仪．教学步骤：1．设置情境　　与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．2．探索研究（1）复习任意角三角

2、函数定义　　上节课我们已学习了任意角三角函数定义，如图1所示，任意角的六个三角函数是如何定义的呢？　　在的终边上任取一点，它与原点的距离是，则角的六个三角函数的值是：　　；；　　；；（2）推导同角三角函数关系式　　观察及，当12345678910下一页....，。时，有何关系？　　当且时、及有没有商数关系？　　通过计算发现与互为倒数：∵．　　由于，　　这些三角函数中还存在平方关系，请计算的值．　　由三角函数定义我们可以看到：．　　∴，现在我们将同角三角函数的基本关系式总结如下：　　①平方关系：　　②商数关系：　　③倒数关系：上一页12345678910下一页....，。　　

3、即同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切，同一个角的正切、余切之积等于1（即同一个角的正切、余切互为倒数）．上面这三个关系式，我们称之为恒等式，即当取使关系式两边都有意义的任意值时，关系式两边的值相等，在第二个式中，在第三个式中，的终边不在坐标轴上，这时式中两边都有意义，以后解题时，如果没有特别说明，一般都把关系式看成是意义的．其次，在利用同角三角函数的基本关系式时，要注意其前提“同角”的条件．（3）同角三角函数关系式的应用　　同角三角函数关系式十分重要，应用广泛，其中一个重要应用是根据一个角的某一个三角函数，求出这个角的其他三角函数值．【例1】已知，且是第二象

4、限角，求，，的值．解：∵，且，∴是第二或第三象限角．　　如果是第二象限角，那么　　　　　　如果上一页12345678910下一页....，。是第三象限角，那么，说明：本题没有具体指出是第几象限的角，则必须由的函数值决定可能是哪几象限的角，再分象限加以讨论．　　【例2】已知，求的值．　　解：，且，是第二或第三象限角．　　如果是第二象限角，那么　　　　　　如果是第三象限角，那么．　　说明：本题没有具体指出是第几象限角，则必须由的函数值决定可能是哪几象限的角，再分象限加以讨论．　　【例3】已知为非零实数，用表示，．　　解：因为，所以　　又因为，所以　　于是∴　　由为非零实数，可知

5、角的终边不在坐标轴上，考虑的符号分第一、第四象限及第二、三象限，从而：　　　　　　在三角求值过程中应尽量避免开方运算，在不可避免时，先计算与已知函数有平方关系的三角函数，这样可只进行一次开方运算，并可只进行一次符号说明．　　同角三角函数关系式还经常用于化简三角函数式，请看例4　　【例4】化简下列各式：　　（1）；（2）上一页12345678910下一页....，。．　　解：（1）（2）　　　　　　　　　　　　　3．演练反馈（投影）（1）已知：，求的其他各三角函数值．（2）已知，求，．（3）化简：解答：（1）解：∵，所以是第二、第三象限的角．　　如果是第二象限的角，则：　　　

6、　　　　　又　　如果是第三象限的角，那么　　　　（2）解：∵∴是第二或第四象限的角由【例3】的求法可知当是第二象限时　　　　　　当是第四象限时　　　　上一页12345678910下一页....，。（3）解：原式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4．本课小结　　（1）同角三角函数的三组关系式的前提是“同角”，因此，……．　　（2）诸如，，……它们都是条件等式，即它们成立的前提是表达式有意义．　　（3）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．课时作业：1．已知，，则等于（）　　A．B．C．D．2．若，则上一页123456

7、78910下一页....，。的值是（）　　A．－2B．2C．±2D．3．化简4．化简，其中为第二象限角．5．已知，求的值．6．已知是三角形的内角，，求值．参考答案：1．D；2．B；3．1；4．；5．3；6．注：4．略解：原式　　　　　　　　　　　∵在第二象限　　∴　　∴上一页12345678910下一页....，。．6．略解：　　由，平方得，，　　∴　　　∵是三角形内角　　∴只有　　∴，由　　　　　　　　　　　　　及，联立，得：，，　　∴上一页12345678910....，。