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1、.GARCH模型与应用简介(2006,5)0.前言……………………………………………..21.GARCH模型………………………………………….72.模型的参数估计………………………………………163.模型检验………………………………………………274.模型的应用……………………………………………325.实例……………………………….……………………426.某些新进展……………………….…………………...46参考文献………………………………………………50附录:常用的条件期望公式……………………....51..0.前言(随机序列的条件均
2、值与条件方差简介)考察严平稳随机序列{yt},且E
3、yt
4、<¥.记其均值Eyt=m,协方差函数gk=E{(yt-m)(yt+k-m)}.其条件期望(或条件均值):E(yt½yt-1,yt-2,…)ºj(yt-1,yt-2,…),(0.1)依条件期望的性质有Ej(yt-1,yt-2,…)=E{E(yt½yt-1,yt-2,…)}=Eyt=m.(0.2)记误差(或残差):etºyt-j(yt-1,yt-2,…).(0.3)由(0.1)(0.2)式必有:Eet=Eyt-Ej(yt-1,yt-2,…)=Eyt-Eyt=0,(0-均值性)(0.4
5、)及Eet2=E[yt-j(yt-1,yt-2,…)]2=E{(yt-m)-[j(yt-1,yt-2,…)-m]}2(中心化)=E(yt-m)2+E[j(yt-1,yt-2,…)-m]2-2E(yt-m)[j(yt-1,yt-2,…)-m]=g0+Var{j(yt-1,yt-2,…)}-2EE{(yt-m)[j(yt-1,yt-2,…)-m]½yt-1,yt-2,…}(根据Ex=E{E[x½yt-1,yt-2,…]})=g0+Var{j(yt-1,yt-2,…)}-2E{[j(yt-1,yt-2,…)-m]E[(yt-m)½yt-1,y
6、t-2,…]}..(再用E[x´y(yt-1,yt-2,…)½yt-1,yt-2,…]=y(yt-1,yt-2,…)E[x½yt-1,yt-2,…];并取x=(yt-m),y(yt-1,yt-2,…)=[j(yt-1,yt-2,…)-m];由(0.1)(0.2)可得)=g0+Var{j(yt-1,yt-2,…)}-2E[j(yt-1,yt-2,…)-m]2=g0-Var{j(yt-1,yt-2,…)}.(0.5)即有:g0=Var(yt)=Var(j(yt-1,yt-2,…))+Var(et).(0.6)此式表明,yt的方差(=g0)可
7、表示为:回归函数的方差(Var(j(yt-1,yt-2,…)),与残差的方差(Var(et))之和.下边讨论et的条件均值与条件方差.为了符号简便,以下记Ft-1={yt-1,yt-2,…}.首先考虑et的条件均值:E(et½Ft-1)=E{yt-j(yt-1,yt-2,…)½Ft-1}=E(yt½Ft-1)-E{j(yt-1,yt-2,…)½Ft-1}=j(yt-1,yt-2,…)-j(yt-1,yt-2,…)=0.(0.7)再看条件方差:Var(et½Ft-1)=E{[et-E(et½Ft-1)]2½Ft-1}=E{et2½Ft-1
8、}(用(0.7)式)ºS2(yt-1,yt-2,…).(0.8)..此处S2(yt-1,yt-2,…)为条件方差函数.注意,et的条件均值是零,条件方差是非负的函数S2(yt-1,yt-2,…),它不一定是常数!依(0.3)式,平稳随机序列{yt}总有如下表达式:yt=j(yt-1,yt-2,…)+et,(0.9)其中j(yt-1,yt-2,…)被称为自回归函数,不一定是线性的.{et}可称为新息序列,与线性模型的新息序列不同,除非{yt}是正态序列.顺便指出,满足(0.4)式的{et}为鞅差序列,因为对它的求和是离散的鞅序列.由于{y
9、t}是严平稳随机序列,且E
10、yt
11、<¥,上述推演是严格的,从而{et}是严平稳的鞅差序列.当{yt}有遍历性时,它也是遍历的.此处所涉及的抽象概念可不必深究.现在将et标准化,即令etºet/S(yt-1,yt-2,…).则有,E(et½Ft-1)=E[et/S(yt-1,yt-2,…)½Ft-1]={1/S(yt-1,yt-2,…)}E[et½Ft-1]=0.(依(0.7)式)(0.10)以及E(et2½Ft-1)=E[et2/S2(yt-1,yt-2,…)½Ft-1]={1/S2(yt-1,yt-2,…)}E[et2½Ft-1](用
12、(0.8))={S2(yt-1,yt-2,…)}/{S2(yt-1,yt-2,…)}=1.(a.s.)(0.11)..由此可见,{et}也是平稳鞅差序列,与{et}相比,{et}的条件方差为常数1.于是(0
