证明：质量均匀分布的球壳对球内任一点的引力为零20130605

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1、----------专业最好文档，专业为你服务，急你所急，供你所需-------------文档下载最佳的地方质量均匀分布的球壳对球内任一质点的引力为零晋江一中物理组庄新恭2013-6-5A1A1´A1´´A2A2´A2´´POΩΩθθr1r2证明如下：如图，质量均匀分布的球壳（绿色部分），在其内部任放一质点P，过P作一条直线A1A2´，以这条直线为母线，以很小的Ω为立体角旋转一周得两圆锥。两圆锥截得两块“球皮”A1A1´和A2A2´，现证明这两块“球皮”对质点P的引力的合力为零。首先，由于两块“球皮”很小，而且立体角Ω很小（或者说圆锥的顶角很小），

2、所以由图易知，P所受两“球皮”的引力的方向必相反。故只须再证明P所受两“球皮”的引力大小相等。为此——设P点所放质点的质量为m，两“球皮”的面积分别为ΔS1和ΔS2，球壳的质量面密度为σ，两“球皮”到P点的距离分别为r1和r2，由万有引力定律可得P点所放质点m受到的两个引力大小分别为和过P点沿两圆锥轴线作虚线（蓝色）分别交两“球皮”于A1´´和A2´´两点，这条直线与两半径的夹角均为θ（为什么），如图所示。现将ΔS1投影到与直线A1´´A2´´垂直的平面上，即投影到图中过A1点且与直线A1´´A2´´垂直的平面上。因立体角——圆锥顶角很小，所以投影平

3、面面积与球冠面积相等。所以投影得到一球冠，面积为ΔS1·cosθ（为什么？自己想想！）。同样的，将ΔS2投影到过A2点的平面上，得到另一球冠，它的面积为ΔS2·cosθ。根据球冠的面积公式可得与球冠对应（的圆锥的）立体角为。显然，这一立体角与球的半径R、球冠的高度h均无关，仅与圆锥的顶角的一半有关。对比平面弧度角与圆的半径无关，可以更好地加以理解。万事具备，只欠——----------专业最好文档，专业为你服务，急你所急，供你所需-------------文档下载最佳的地方----------专业最好文档，专业为你服务，急你所急，供你所需------

4、-------文档下载最佳的地方因为两个圆锥的顶角相等，从而两个立体角Ω相等，从而F1与F2大小相等。这样，我们就证明了两块“球皮”ΔS1和ΔS2对放在P点质点m的引力的合力为零；而整个球壳可分解成这样一对对的“球皮”，每一对“球皮”对放在任意点P的质点的引力的合力均为零；所以，质量均匀分布的球壳对球内任一质点的引力为零！！OK~~呼呼~~~附录：“球冠面积”与“立体角Ω”，将下图立体想象起来。。hRαα式中，R为球的半径，h为球冠的高度，α为与球冠对应的圆锥的半顶角。----------专业最好文档，专业为你服务，急你所急，供你所需--------

5、-----文档下载最佳的地方----------专业最好文档，专业为你服务，急你所急，供你所需-------------文档下载最佳的地方----------专业最好文档，专业为你服务，急你所急，供你所需-------------文档下载最佳的地方