（2015山东）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），其中a∈r，

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1、（2015山东）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），其中a∈R，　　（2015山东）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），其中a∈R，（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．　　解：（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），其中a∈R，x∈（-1，+∞）．　　f′(x)＝1x+1+2ax-a=2ax2+ax-a+1x+1．令g（x）=2ax2+ax-a+1．　　（1）当a=0时，g（x）=1，此时f′（x）＞0，函数f（x）在（-1，+∞）上单调递增，无极值点．　　（2）当a

2、＞0时，△=a2-8a（1-a）=a（9a-8）．　　①当0＜a≤89时，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，函数f（x）在（-1，+∞）上单调递增，无极值点．　　②当a＞89时，△＞0，设方程2ax2+ax-a+1=0的两个实数根分别为x1，x2，x1x∈（x2，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．　　因此函数f（x）有一个极值点．　　综上所述：当a＜0时，函数f（x）有一个极值点；　　当0≤a≤89时，函数f（x）无极值点；　　当a＞890时，函数f（x）有两个极值点．（II）由（I）可知：　　（1）当0≤a≤89时，函数f（x）在（

3、0，+∞）上单调递增．∵f（0）=0，　　∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．　　（2）当89＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．又f（0）=0，　　∴x∈（0，+∞）时，f（1＜x2．　　∵x1+x2=-12，　　∴x1＜-14，x2＞-14．　　由g（-1）＞0，可得-1＜x1＜-14．∴当x∈（-1，x1）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；　　当x∈（x1，x2）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；　　当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x

4、）单调递增．　　因此函数f（x）有两个极值点．　　（3）当a＜0时，△＞0．由g（-1）=1＞0，可得-1＜x1＜-14．∴当x∈（-1，x2）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；　　当）＞0，符合题意．　　（3）当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，　　∴x∈（0，x2）时，函数f（x）单调递减．　　又f（0）=0，　　∴x∈（0，x2）时，f（x）＜0，不符合题意，舍去；　　（4）当a＜0时，设h（x）=x-ln（x+1），x∈（0，+∞），h′（x）=xx+1＞0．∴h（x）在（0，+∞）上单调递增．　　因此x∈（0，+∞）时，h（x）

5、＞h（0）=0，即ln（x+1）＜x，　　可得：f（x）＜x+a（x2-x）=ax2+（1-a）x，　　当x＞1-1a时，ax2+（1-a）x＜0，此时f（x）＜0，不合题意，舍去．