分形与小波理论在非线性图像处理中应用

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1、非线性信号与图像处理大报告分形与小波理论在非线性图像处理中的应用摘要：基于小波的图像处理研究是—项备受关注的研究课题，近年来，将诸如分形理论等的非线性处理技术引入该领域的研究已经成为一个发展方向。本文探讨了将分形这种信号处理中常用的非线性处理技术与小波变换相结合，在图像压缩编码、图像边缘检测、图像纹理分割以及其他领域的运用。关键字：小波分形图像压缩纹理分割边缘检测FractalandWavelettheoryTheoryinNonlinearImageProcessingAbstract:Waveletisoneofthemostoutstandingt

2、echniquesinimageprocessing,andfractalsignalprocessingisanewanalysismethoddevelopedinpasttwodecades.Astudyofcombiningthosetwomethodsofsignalprocessingandapplyingthemtoimageprocessingisthetopicofthispaper.Keywords:waveletfractalimagecompressiontexturesegmentationedgedetection1.小波与分

3、形基础理论介绍1.1引言小波理论[1](WaveletTheory)被认为是近年来在数学分析和方法上的重大理论突破，在不同学科和领域的科学家的共同努力下，如今已经有了坚实的数学理论基础和广泛的应用背景。在数学界，小波分析被看作是傅里叶分析发展史上的里程碑，是为克服传统傅立叶分析方法的缺点而发展起来的，它在时域和频域同时具有良好的局部化性质，而且由于对高频成分采用逐渐精细的时域或空间域取样步长，从而可以聚焦到对象的任意细节，被誉为“数学显微镜"，是泛函分析、傅里叶分析、样条分析、调和分析、数值分析的完美结合。目前，小波变换被广泛应用于信号处理的各个领域，例

4、如如语音信号处理、数字图像处理、数字视频处理、非线性信号处理等。分形理论(FractalTheory)是非线性研究的重要组成部分之一，非线性科学是近30年来在各门以非线性为特征的子学科研究基础上形成的，旨在揭示非线性系统的共同性质、基本特征和运动规律，是跨多个学科的综合性基础科学。分形理论是目前一门跨学科、非线性并且相当活跃的学科。分形几何学是由非线性信号与图像处理大报告Mandelbrot首先提出的，用来描述自然界中不规则、具有自相似结构的物体。在图像处理领域，分形理论在模拟自然景物生成、图像边缘检测、图像分割等方面上有很好地运用。非线性是指两个量之间

5、没有象正比那样的“直线”关系，自然界中的非线性是绝对的，线性是非线性的特殊情况。非线性科学研究包罗万象，但如果什么都研究，那反倒什么问题也解决不了，因此非线性的研究的重点在于研究各门学科中非线性的共性问题。数学领域非线性科学研究的三大重点包括：混沌(chaos)，分形(fractal)和孤立波(soliton)；技术工程领域非线性应用方法有神经网络[2~3]，矢量量化等。1.1小波变换(1)一维连续小波变换对于，的一维小波变换定义为：(1.1)(1.1)式中被称为母小波，是的复共轭转制。其中，为实数，且>0，被称作尺度因子，反映了一个具体的基函数的伸缩尺

6、度。为时间中心函数，表示基函数的平移位置。小波逆变换可以看成原信号的重构，对于以及的连续点有(1.2)其中，式(1.2)称之为信号的小波重构。(2)二维连续小波变换如果信号函数，非线性信号与图像处理大报告为二维小波母函数，其构造可由一维母小波的张量积形成，也可以由非张量积的方法构造，则的表达形式为：，(1.3)因为图像信号是二维信号，所以将一维小波扩展到二维情况便于后续使用和分析。(1.4)一维和二维小波变换除了连续变换之外还有离散变换的形式，这里不再赘述。(1)多分辨分析多分辨分析(MultiresolutionAnalysis，MRA)是1989年由

7、S．Mallat引入的，他从空间的概念上形象地说明了小波的多分辨特性，将在此之前所有小波变换理论统一起来。设是一个正交MRA，如果(1.5)那么，函数的伸缩、平移构成的正交基。对于任意的，可以表示为(1.6)且其中部分和(1.7)因此构成信号在子空间上的投影，也就是信号分解到与频率相关的局部信息。综合式(1.6)和(1.7)得到信号的另一种等价表示非线性信号与图像处理大报告(1.8)式(1.8)可以看做是信号的一种按频率的分解。更进一步的，如果只希望知道信号不超过频率相关的所有信息，则该信息的表达式为(1.9)信号。1989年，Mallat在小波变换多分

8、辨分析理论与图像处理的应用研究中提出了信号的塔式多分辨分解与重构的著名算法，也称