任意角和弧度制

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1、1.角的定义角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形.AOBα始边终边顶点角是平面几何中的一个基本图形，角是可以度量其大小的.在平面几何中，角的取值范围如何？但在实际问题中还会遇到其他角．探究一：角的形成结果；在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的.一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转.你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转60度所形成的角，与按顺时针方向旋转60度所形成的角是否相等？如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听到“转体10800”、“

2、转体12600”这样的解说．因此，仅有0°～360°范围内的角是不够的．角的形成过程规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角.１.角的方向任意角度量一个角的大小，既要考虑旋转方向，又要考虑旋转量，通过上述规定，角的范围就扩展到：任意大小.βB2γAB1αO对于你能用图形表示这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？画图表示一个大小一定的角:(1)先画一条射线作为角的始边，(2)再由角的正负确定角的旋转方向，(3)再由角的绝对值大小确定角的旋转量，(4)

3、画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注.问题1：钟表经过4小时，时针与分针各转(填度).问题２：如果你的手表慢了20分钟，或快了1.25小时，你应该将分钟分别旋转多少度才能将时间校准？－120°，450°.－120°，-1440°.探究二：象限角思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？xoy象限角：角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。如果角的

4、终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，或称这个角为轴线角.那么下列各角：-50°，405°，210°,-200°，－450°分别是第几象限的角？－50°xyoxyo210°xyo405°xyo－200°xyo问题３：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？象限角只能反映角的终边所在象限(位置)，不能反映角的大小.问题2：锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90°的角是锐角吗？思考４：在直角坐标系中，135°角的终边在什么位置？终边在该位置的角一定是135°吗？xyo探究三：终边相同的角思考1：－32°，328°

5、，－392°是第几象限的角？这些角有什么内在联系？－32°－392°xyo328°与－32°角终边相同的角有多少个？这些角与－32°角在数量上相差多少？思考2：所有与－32°角终边相同的角，连同－32°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？S={β

6、β=α＋k·360°，k∈Z}，即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.思考3：一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合S可以怎样表示？129°48′，第二象限角.300°，-60°.例题分析例1．在0°～360°范围内，找出与－95

7、0°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角.例2．求与3900°终边相同的最小正角和最大负角.例2:写出终边在Y轴上的角的集合分析:首先写出在Y轴的正半轴上的角的集合,然后写出在Y轴的负半轴上的角的集合解答:终边在Y轴的正半轴上的角的集合为终边在Y轴的负半轴上的角的集合为xyoxyo所以,终边在Y轴上的角的集合为xyo巩固与提高写出终边在X轴上的角的集合写出终边在坐标轴上的角的集合xyoxyoxyoxyo小结1:终边在轴线上的角的集合xyoxyo例4．用集合的形式表示象限角第一象限的角表示为第二象限的角表示为第三象限的角表

8、示为第四象限的角表示为{

9、k360<

10、k360+90<

11、k360+180<

12、k360+270<

13、k36090<

14、k·3600<α<900＋k·3600,k∈Z}；第二象限：S={α

15、900＋k·3600<α<1800+k·3

16、600,k∈Z}；第三象限：S={α

17、1800＋k·3600<α<2700+k·3600,k∈Z}；第四象限：S={α

18、－900＋k·3600<α