任意角和弧度制经典总结

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1、任意角和弧度制、诱导公式一．角的概念的推广我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角；把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角。突出“旋转”注意：(1)“顶点”“始边”“终边”⑵．“正角”与“负角”“0角”二．“象限角”三．轴线角：四．终边相同的角五、弧度制角度制与弧度制的换算：角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度0π/6π/4π/3π/22π/33π/45π/6π角度210°225°240°270°300°315°330°360°弧度7π/65π/44π/33π/25

2、π/37π/411π/62π3．弧长公式：由公式：比公式简单弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积4．扇形面积公式其中是扇形弧长，是圆的半径证：如图：圆心角为1rad的扇形面积为：弧长为的扇形圆心角为∴比较这与扇形面积公式要简单公式一（其中）:角度制表示如下：用弧度制可表示如下：（这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π第10页共10页间角的三角函数值问题。）※公式:公式二：角度制表示如下：用弧度制可表示如下：公式三：公式四：角度制表示如下：用弧度制可表示如下：公式

3、五：角度制表示如下：用弧度制可表示如下：sin(90°-a)=cosa,sin(-a)=cosa,cos(90°-a)=sina.cos(-a)=sina.公式六：角度制表示如下：用弧度制可表示如下：sin(90°+a)=cosa,sin(+a)=cosa,cos(90°+a)=-sina.cos(+a)=-sina.例题分析：例1．若，且，则（）例2．（1）如果是第一象限的角，那么是第几象限的角？（2）如果是第二象限的角，判断的符号．第10页共10页解：（1）∵，∴，当时，，是第一象限的角，当

4、时，，是第二象限的角，当时，，是第三象限的角．∴是第一，二，三象限的角．（2）∵是第二象限的角，，，∴，，∴．例3．已知锐角终边上的一点坐标是，则（）角度和弧度的转换：1．设，如果且，则的取值范围是（）2．已知的终边经过点，且，则的取值范围是．3．若，则（）诱导公式例题例1．下列各式的值：1）（1）cos210º；(2)sin解：（1）cos210º=cos(180º+30º)=－cos30º=－；第10页共10页（2）sin=sin()=－sin=－2）（3）sin(－)；(4)cos(－60

5、º)－sin(－210º)解：（3）sin(－)=－sin()=sin=；（4）原式=cos60º+sin(180º+30º)=cos60º－sin30º=－=0同类练习：求下列三角函数的值(1)sin240º；(2)；(3)sin（-）(4)cos；(5)cos(-150º)；(6)sin解：（1）sin240º=(2)=；(3)sin（-）=(4)cos=cos()=cos=(5)cos(-150º)=cos150º=cos(180º-30º)=－cos30º=；(6)sin=sin()=－

6、sin=（7）sin(-1200º)·cos1290º+cos(-1020º)·sin(-1050º)+tan855º解：原式＝－sin(120º+3·360º)cos(210º+3·360º)+cos(300º+2·360º)[-sin(330º+2·360º)]+tan(135º+2·360º)＝－sin120º·cos210º－cos300º·sin330º+tan135º＝－sin(180º－60º)·cos(180º+30º)－cos(360º－60º)·sin(360º-30º)+=

7、sin60º·cos30º+cos60º·sin30º－tan45º=·+·-1=0第10页共10页例2．化简同类练习：1）化简：略解：原式===1说明：化简三角函数式是诱导公式的又一应用，应当熟悉这种题型．2）化简：解：原式====说明：本题可视为例5的姐妹题，相比之下，难度略大于例5．求解时应注意从所涉及的角中分离出2的整数倍才能利用诱导公式一．例3．已知cos(π+)=－，<<2π，则sin(2π－)的值是（）．（A）(B)(C)－(D)±事实上，已知条件即cos=，于是sin(2π－)=

8、－sin=－(－)==因此选A同类练习：已知．求：的值．解：已知条件即，又，第10页共10页所以：=例4．求证：证明：左边=====，右边==，所以，原式成立．同类练习：求证证明：左边＝＝＝tan3α＝右边，所以，原式成立．例5．已知,求:的值第10页共10页解：由，得，所以故==1＋tan＋2tan2=1+例6．已知的值．解：因为，所以：=＝－m由于所以于是：=，所以：tan(=例7．已知cos，角的终边在y轴的非负半轴上，求cos的值．解：因为角的终边在y轴的非负半轴上，所以：=，于是2（）