求二次函数关系式的技巧

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1、求二次函数关系式的技巧求二次函数的关系式，是初中数学的重要内容之一.学会求二次函数的关系式，可使许多问题迎刃而解，怎样求二次函数的关系式呢？有什么技巧呢？现举例说明如下.一、用二次函数的性质求例１　已知某二次函数的图像关于y轴对称，且过点（０，８），其形状和y＝２x２＋３x＋５的图像形状相同，位置不同，开口方向相反.求此二次函数的关系式？分析与解：此题必须熟知二次函数关系式中的系数和图像的关系.二次项的系数的绝对值决定它的形状，只要其绝对值相等，其形状就形同，二次项系数的正负决定它的开口方向，二次项的

2、系数是正数，则图像开口向上，是负数则开口向下.一次项的系数决定图像的左右位置：开口向上时，一次项的系数增大，图像向左平移，一次项的系数减小，图像向右平移；开口向下时，一次项的系数增大，图像向右平移，一次项的系数减小，图像向左平移；一次项的系数为零时，图像关于y轴对称.常数项就是图像与y轴的交点纵坐标.知道了如上知识，不难知道，本题中的二次函数的二次项系数为负２，一次项系数为０，常数项为８，所以此二次函数的关系式为y＝－２x２＋８．此题的技巧在于弄清并利用系数与图像的关系.二、用一般式求例２　已知某二次

3、函数的图像过点（０，０），（１，－６）和（２，－８）.求此二次函数的关系式.分析与解：此函数的图像过点（０，０），说明其常数项为０，所以，可设其函数关系式为：ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ，把点（１，－６）和点（２，－８）代入得方程－６＝ａ＋ｂ和－８＝４ａ＋２ｂ，这二个方程组成方程组，解之可得：ａ＝２，ｂ＝－８.所以此函数的表达式为ｙ＝２ｘ２－８ｘ．此方法的技巧是利用坐标与图像的关系，推出常数项为０，使列的方程组较简便.三、用顶点式或两根式求例３　已知某二次函数过点（１，０），（５，０）和（３，８）.求此二次函数的

4、关系式.１．用顶点式求分析与解：仔细观察，不难发现，给出的三个点的横坐标分别是１，３，５．其中３恰好在１和５的中间，根据二次函数图像的对称性可知，３就是它的顶点横坐标，那么（３，８）就是它的顶点坐标，所以此题也可用顶点式来求，设它的关系式为：ｙ＝ａ（ｘ－３）２＋８．把点（１，０）代入得０＝ａ（１－３）２＋８解此方程可得ａ＝－２，所以此二次函数的关系式为ｙ＝－２（ｘ－３）２＋８，化为一般形式为ｙ＝－２ｘ２＋１２ｘ－１０．此方法的技巧在于：利用二次函数的对称性，发现（３，８）是顶点坐标，利用顶点式求解，又

5、快又对.２．用两根式求分析与解：仔细观察还可发现，点（１，０），（５，０）都在x轴上，所以还可用两根式求解，设ｙ＝ａ（ｘ－１）（ｘ－５），把点（３，８）代入此关系式得８＝ａ（３－１）（３－５），解得ａ＝－２，所以此二次函数关系式为ｙ＝－２（ｘ－１）（ｘ－５）．化为一般形式为ｙ＝－２ｘ２＋１２ｘ－１０此方法的技巧是：仔细观察，发现两根，再用两根式求解.四、用实际问题中的数量关系求有些问题无法用上面的方法求函数关系式，但是可利用题中的数量关系求出其函数关系式，再进一步用二次函数的有关知识求解.常见的有以下

6、两种情况.１．有关商品销售的问题例４　已知某商场销售某商品，该商品的进价是每件９０元，调查发现，若定价为每件１００元，每天可售出５００件，在此基础上，价格每上涨１元，每天就少售出２０件，求定价为多少元时，每天获得的利润最多？为多少元？分析：本题无法用上面的关系求关系式，但可根据题中的数量关系求出二次函数关系式，本题中的数量关系是：日利润＝每件的利润×日销售的件数.解：设定价为每件ｘ元时，日获利为ｙ元，由题意得：y＝（ｘ－９０）［５００－２０（ｘ－１００）］＝－２０ｘ２＋４３００ｘ－２２５０００＝－２０

7、（ｘ－１０７．５）2＋６１２５所以当ｘ＝１０７．５时，ｙ有最大值６１２５，即每件定价为１０７．５元时，日获利润最多，为６１２５元.２．有关面积的问题例５　用１００米长的篱笆，围一个矩形鸡舍，求长和宽各为多少时，鸡舍的面积最大，最大面积为多少平方米？分析：此题根据长×宽＝面积.即可求出二次函数关系式.解：设长为ｘ米时面积为ｙ米.由题意得y＝（１００÷２－ｘ）ｘ＝－ｘ２＋５０ｘ＝－（ｘ－２５）２＋６２５所以，当长为２５米时，面积最大，最大面积为６２５平方米.此时，宽为１００÷２－２５＝２５米，即此时为正方

8、形.以上几种方法和技巧，是求二次函数关系式常用的方法和技巧，学会上面的方法和技巧，做二次函数问题时会又快又对，望各位同学认真学习以上方法和技巧，真正理解其精髓，达到能灵活运用和熟能生巧的程度，那么您的中考成绩肯定因为学习这篇文章而涨不少分数的.这是我二十多年教学经验的精华，若能认真研读，肯定受益许多！