函数周期及对称轴

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1、抽象函数的周期与对称轴1.函数的图象的对称性（自身）:定理1:函数的图象关于直对称。特殊的有：①函数的图象关于直线对称。②函数的图象关于轴对称（奇函数）。③函数是偶函数关于对称。定理2：函数的图象关于点对称；特殊的有：①函数的图象关于点对称。②函数的图象关于原点对称（奇函数）。③函数是奇函数关于点对称。则的图象，以为对称中心。证：方法一：要证原结论成立只需证令代入则方法二：设它的图象为C;则P关于点的对称点∵∴∴定理3：（性质）①若的图像有两条铅直对称轴x=a和x=b(a不等于b),那么为周期函数且2

2、a-b

3、是它的一个周期。②若的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那

4、么为周期函数且4

5、a-m

6、为它的一个周期。③若图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称（a≠b），则是周期函数，且2

7、a－b

8、是其一个周期。④若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x对称。2.两个函数图象的对称性:①函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.②函数与函数的图象关于直线对称.特殊地:与函数的图象关于直线对称③函数的图象关于直线对称的解析式为④函数的图象关于点对称的解析式为3.若是偶函数，则必有；若是奇函数，则必有若为偶函数，则必有；若是奇函数，则必有2.函数的周期性的主要结论：结论1：如果（），周期结论2：如果（），周期证：令∴①令∴②由①②得：∴∴结

9、论3：如果定义在上的函数有两条对称轴、对称，那么是周期函数，其中一个周期4结论4：如果偶函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期结论5：如果奇函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期结论6：如果函数同时关于两点、（）成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期结论7：如果奇函数关于点（）成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期结论8：如果函数的图像关于点（）成中心对称，且关于直线（）成轴对称，那么是周期函数，其中一个周期结论9：如果或，那么是周期函数，其中一个周期结论10：如果或，那么是周期函数，其中一个周期结论11：如果，那么是周期函数，其中一个周期4典型例

10、题1：设是定义在R上的函数，均有当时，求当时，的解析式。解：由有得设则∴∴时例2：已知满足，，当时，且，若，，求、、的大小关系？解：，对称轴∴也为一条对称轴∴∴∴∴，，∴练习：设是定义在R上的偶函数，且,当－1≤x≤0，，则f(8.6)=_______解：x=0，x=1是y=f(x)对称轴。T=2∴f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(－0.6)=0.3例3：定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且f(5－x)=f(5+x),则f(x)一定是（）（第十二届希望杯高二）(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇

11、函数，但不是周期函数解：∵f(10+x)为偶函数，∴f(10+x)=f(10－x).∴f(x)有两条对称轴x=5与x=10，因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x=0即y轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数。故选(A)例4：设定义域为R的函数、都有反函数，并且和函数的图像关于直线y=x对称，若那么（C）。A1999；B2000；C2001；D2002。解：和函数的图像关于直线y=x对称∴有例5：若函数y=f(x)的图像有一个对称中心A(a,c)和一条对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4

12、a-m

13、为它的一个周期。解析∵y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对

14、称，∴f(x)+f(2a－x)=2c，用2b－x代x得：f(2b－x)+f[2a－(2b－x)]=2c………………（*）又∵函数y=f(x)图像直线x=b成轴对称，∴f(2b－x)=f(x)代入（*）得：f(x)=2c－f[2(a－b)+x]…………（**），x=2（a－b）－x得f[2(a－b)+x]=2c－f[4(a－b)+x]代入（**）得：f(x)=f[4(a－b)+x],故y=f(x)是周期函数。4练习1：若函数有求。解：知图象关于对称而的对称中心∴∴则2已知是定义在R上的函数且满足，当时有则是周期函数且周期为2当时，其中正确的是3.对于，有下列命题。在同一坐标系下，函数与的图

15、象关于直线对称。若且均成立，则为偶函数。若恒成立，则为周期函数。若为单调增函数，则（且）也为单调增函数，其中正确的4.定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，求的值。解5.设定义在R上，有且当时，（1）求证：且当时，（2）求证：在R上递减。解：1令，得∵∴设，则+有∴（2）设则即∴∴在R上递减【模拟试题】1.已知满足，且是奇函数，若则（B）A.B.C.D.2.已知是定义在R上的偶函数，且对任何实数均成立，当