数学集合概念及运算(教师用)

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1、第一讲集合的概念与运算【知识点要求】1．理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.2．了解空集和全集的意义.3．了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．4．解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x

2、x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.5．注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如AB,则有A=或A≠两种可能，此时应分类讨论.【例题解析】题型1．正确理解和运用集合概念理解集合的概念

3、,正确应用集合的性质是解此类题目的关键.例1.已知集合M={y

4、y=x2＋1,x∈R},N={y

5、y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（）A．（0，1），（1，2）B．{（0，1），（1，2）}C．{y

6、y=1,或y=2}D．{y

7、y≥1}思路启迪：集合M、N是用描述法表示的，元素是实数y而不是实数对(x,y)，因此M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集．解：M={y

8、y=x2＋1,x∈R}={y

9、y≥1}，N={y

10、y=x＋1,x∈R}={y

11、y∈R}．∴M∩N={y

12、y≥1}∩{y

13、y∈R}={y

14、y≥1},∴应选D．点评：①

15、本题求M∩N，经常发生解方程组从而选B的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是点，因此M、N是数集而不是点集．②集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x

16、y=x2＋1}、{y

17、y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)

18、y=x2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．例2.若P={y

19、y=x2,x∈R}，Q={y

20、y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（）A．P　　B．QC．　D．不知道思路启迪：类似上题知P集合是y=x2（x∈R）的值域集合，同样Q集合是y=x2＋1（x∈R）的值域集合，这样P∩

21、Q意义就明确了．解：事实上，P、Q中的代表元素都是y，它们分别表示函数y=x2,y=x2＋1的值域，由P={y

22、y≥0},Q={y

23、y≥1}，知QP，即P∩Q=Q．∴应选B．例3.若P={y

24、y=x2,x∈R}，Q={(x，y)

25、y=x2,x∈R}，则必有（）A．P∩Q=　B．PQC．P=QD．PQ思路启迪：有的同学一接触此题马上得到结论P=Q，这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,x∈R相同，而没有注意到构成两个集合的元素是不同的，P集合是函数值域集合，Q集合是y=x2,x∈R上的点的集合，代表元素根本不是同一类事物．解：正确解法应为：P表示函数y=x2的值域，Q表示抛物线y=x2

26、上的点组成的点集，因此P∩Q=．∴应选A．例4若，则=（）A．{3}B．{1}C．D．{－1}思路启迪：解：应选D．点评：解此类题应先确定已知集合．题型2．集合元素的互异性集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识．例5.若A={2，4,3－22－＋7},B={1,＋1,2－2＋2,－(2－3－8),3＋2＋3＋7}，且A∩B={2，5}，则实数的值是________．解答启迪：∵A∩B={2，5}，∴3－22－＋7=5,由此求得=2或=±1．A={2,4,5

27、}，集合B中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查．当=1时，2－2＋2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去=1．当=－1时，B={1,0,5,2,4}，与A∩B={2，5}相矛盾，故又舍去=－1．当=2时，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此时A∩B={2，5}，满足题设．故=2为所求．例6.已知集合A={,＋b,＋2b}，B={,c,c2}．若A=B，则c的值是______．思路启迪：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．解：分两种情况进行讨论．（1）若＋b=

28、c且＋2b=c2，消去b得：＋c2－2c=0，=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故≠0．∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．（2）若＋b=c2且＋2b=c，消去b得：2c2－c－=0，∵≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－．点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正．例7.已知集合A={x

29、x2－3x＋2=0},