数学集合概念及运算(教师用)

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1、第一讲集合的概念与运算【知识点要求】1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.2.了解空集和全集的意义.3.了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合.4.解答集合问题,首先要正确理解集合有关概念,特别是集合中元素的三要素;对于用描述法给出的集合{x

2、x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P;要重视发挥图示法的作用,通过数形结合直观地解决问题.5.注意空集的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性,如AB,则有A=或A≠两种可能,此时应分类讨论.【例题解析】题型1.正确理解和运用集合概念理解集合的概念

3、,正确应用集合的性质是解此类题目的关键.例1.已知集合M={y

4、y=x2+1,x∈R},N={y

5、y=x+1,x∈R},则M∩N=()A.(0,1),(1,2)B.{(0,1),(1,2)}C.{y

6、y=1,或y=2}D.{y

7、y≥1}思路启迪:集合M、N是用描述法表示的,元素是实数y而不是实数对(x,y),因此M、N分别表示函数y=x2+1(x∈R),y=x+1(x∈R)的值域,求M∩N即求两函数值域的交集.解:M={y

8、y=x2+1,x∈R}={y

9、y≥1},N={y

10、y=x+1,x∈R}={y

11、y∈R}.∴M∩N={y

12、y≥1}∩{y

13、y∈R}={y

14、y≥1},∴应选D.点评:①

15、本题求M∩N,经常发生解方程组从而选B的错误,这是由于在集合概念的理解上,仅注意了构成集合元素的共同属性,而忽视了集合的元素是什么.事实上M、N的元素是数而不是点,因此M、N是数集而不是点集.②集合是由元素构成的,认识集合要从认识元素开始,要注意区分{x

16、y=x2+1}、{y

17、y=x2+1,x∈R}、{(x,y)

18、y=x2+1,x∈R},这三个集合是不同的.例2.若P={y

19、y=x2,x∈R},Q={y

20、y=x2+1,x∈R},则P∩Q等于()A.P  B.QC. D.不知道思路启迪:类似上题知P集合是y=x2(x∈R)的值域集合,同样Q集合是y=x2+1(x∈R)的值域集合,这样P∩

21、Q意义就明确了.解:事实上,P、Q中的代表元素都是y,它们分别表示函数y=x2,y=x2+1的值域,由P={y

22、y≥0},Q={y

23、y≥1},知QP,即P∩Q=Q.∴应选B.例3.若P={y

24、y=x2,x∈R},Q={(x,y)

25、y=x2,x∈R},则必有()A.P∩Q= B.PQC.P=QD.PQ思路启迪:有的同学一接触此题马上得到结论P=Q,这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,x∈R相同,而没有注意到构成两个集合的元素是不同的,P集合是函数值域集合,Q集合是y=x2,x∈R上的点的集合,代表元素根本不是同一类事物.解:正确解法应为:P表示函数y=x2的值域,Q表示抛物线y=x2

26、上的点组成的点集,因此P∩Q=.∴应选A.例4若,则=()A.{3}B.{1}C.D.{-1}思路启迪:解:应选D.点评:解此类题应先确定已知集合.题型2.集合元素的互异性集合元素的互异性,是集合的重要属性,教学实践告诉我们,集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略,从而导致解题的失败,下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识.例5.若A={2,4,3-22-+7},B={1,+1,2-2+2,-(2-3-8),3+2+3+7},且A∩B={2,5},则实数的值是________.解答启迪:∵A∩B={2,5},∴3-22-+7=5,由此求得=2或=±1.A={2,4,5

27、},集合B中的元素是什么,它是否满足元素的互异性,有待于进一步考查.当=1时,2-2+2=1,与元素的互异性相违背,故应舍去=1.当=-1时,B={1,0,5,2,4},与A∩B={2,5}相矛盾,故又舍去=-1.当=2时,A={2,4,5},B={1,3,2,5,25},此时A∩B={2,5},满足题设.故=2为所求.例6.已知集合A={,+b,+2b},B={,c,c2}.若A=B,则c的值是______.思路启迪:要解决c的求值问题,关键是要有方程的数学思想,此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性,无序性建立关系式.解:分两种情况进行讨论.(1)若+b=

28、c且+2b=c2,消去b得:+c2-2c=0,=0时,集合B中的三元素均为零,和元素的互异性相矛盾,故≠0.∴c2-2c+1=0,即c=1,但c=1时,B中的三元素又相同,此时无解.(2)若+b=c2且+2b=c,消去b得:2c2-c-=0,∵≠0,∴2c2-c-1=0,即(c-1)(2c+1)=0,又c≠1,故c=-.点评:解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解,这需要解题后进行检验和修正.例7.已知集合A={x

29、x2-3x+2=0},

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