小学奥数几何五大模型.pdf

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1、小学奥数几何五大模型一、五大模型简介（1）等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等；2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图1所示，SSBDCD::；△ABDACD△3、两个三角形底相等，面积之比等于高之比，如图2所示，SSAEBF::；△ACDBCD△4、在一组平行线之间的等积变形，如图3所示，SS；反之，如果SS，则直线ABCD∥。△ACDBCD△△ACDBCD△ABABABDCCEFDCD图1图2图3例、如图，△ABC的面积是24，DEF、、分别是BCACAD、、的中点，求△DEF的面积。AFEBD

2、C11解析：根据等积变换知，SS2412,△ADC△ABC221111SS126，SS63。△ADE△ADC△DEF△ADE2222（2）鸟头模型（共角定理）1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等或互补）两夹边的乘积之比。如下图△ABC中，DE、分别是ABAC、上或ABAC、延长线上的点。ADEADEBCBCSADAE△ADE则有：。SABAC△ABC我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！DAEBC证明：如图，连接BE，根据等

3、积变换模型知，SSADAB::、SSAECE::，△ADEABE△△ABECBE△所以S△SSABESSABC:AEAC::ABE△ABECBE△△△。SSSADAEADAE△ADEADEABE△△因此。SSSABACABAC△ABCABEABC△△例、如图，在△ABC中，点D在BA的延长线上，点E在AC上，且ABAD:5:2，AEEC:3:2，△ADE的面积为12平方厘米，求△ABC的面积。DAEBCSABAC△ABC解析：根据鸟头模型可知：，SADAE△ADEABAC55所以SS

4、1250（平方厘米）。△ABC△ADEADAE23（3）蝴蝶模型1、梯形中的比例关系(“梯形蝴蝶定理”):AaDS1S2S4OS3BbC①SS（因为SS，所以SSSS），24△ABC△DBC△ABC△OBC△DBC△OBC22SS::ab；1322②SS::::SS::ababab；12342③梯形S的对应份数为ab。例、如图，在梯形ABCD中，ABCD∥，对角线ACBD、交于点O，已知△AOB、BOC△的面积分别为25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD的面积。AD2535OBC2解析：

5、由梯形蝴蝶模型的性质知，S:SAB:ABCD25:35，△AOB△BOC2222所以ABCD:5:7；所以S:SABCD:5:725:49，△AOB△DOC即S49平方厘米，而SS35平方厘米，△DOC△AOD△BOC所以梯形ABCD的面积为：25+35+35+49=144平方厘米。2、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：DAS1S4S2OS3BC①SS::SS或者SSSS；12431324AOSSBOSS1223②，。COSSDOSS3414例、如图，四边形ABCD的对角线

6、ACBD、交于点O，如果△ABD的面积等于1△BCD面积的，且AO2，DO3，求CO的长度是DO长度的几倍。3DAOBC解析：由任意四边形蝴蝶定理的性质知，AOCO::1:3SS，所以△ABDBCD△COAO3326，所以CODO:6:32:1，即CO是DO的2倍。蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径，通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。（4）相似模型1、相似三角形：形状相同、大小不相等的两个三角

7、形相似；2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。3、相似三角形性质：①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比；②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方。相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有DEBC∥。(一)金字塔模型(二)沙漏模型AEDADEBCBC结论：因为DEBC∥，所以△ADE∽ABC△，则ADAEDE22①；②S△SADADEABCAB::△。ABACBC例、如

8、图，已知在平行四边形ABCD中，AB16、AD10、BE4，那么FC的长度是多少？DCFABE解析：根据平行四边形的性质知，ABCD∥，所以由沙漏模型知：44FCFBCDBE::16:44:1，所以FCBC108。415（5）燕尾模型AEFOBDC由于两种颜色阴影部分的形状合在一起