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《裂项相消法求和附答案.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、裂项相消法利用列项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面剩两项，再就是通项公式列项后，有时需要调整前面的系数，使列项前后等式两边保持相等。（1）若是{an}等差数列，则,（2）（3）（4）（5）（6）（7）1.已知数列的前n项和为，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和为．[解析](1)……………①第15页共15页时,……………②①②得:即 ……………………………………3分在①中令,有,即，……………………………………5分故对2.已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4=2S2+8．（
2、Ⅰ）求公差d的值；（Ⅱ）若a1=1，设Tn是数列{}的前n项和，求使不等式Tn≥对所有的n∈N*恒成立的最大正整数m的值；[解析]（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，∵S4=2S2+8，即4a1+6d=2(2a1+d)+8，化简得：4d=8，解得d=2．……………………………………………………………………4分（Ⅱ）由a1=1，d=2，得an=2n-1，…………………………………………5分∴=．…………………………………………6分∴Tn==第15页共15页=≥，…………………………………………8分又∵不等式Tn≥对所有的n∈N*恒成立，∴≥，…………………………………………1
3、0分化简得：m2-5m-6≤0，解得：-1≤m≤6．∴m的最大正整数值为6．……………………………………………………12分3.)已知各项均不相同的等差数列{an}的前四项和S4=14,且a1,a3,a7成等比数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设Tn为数列的前n项和,求T2012的值.[答案](Ⅰ)设公差为d,由已知得(3分)解得d=1或d=0(舍去),∴a1=2.(5分)故an=n+1.(6分)(Ⅱ)==-,(8分)∴Tn=-+-+…+-=-=.(10分)∴T2012=.(12分)4.)已知数列{an}是等差数列,-=8n+4,设数列{
4、an
5、}的前n项和为S
6、n,数列的前n项和为Tn.(1)求数列{an}的通项公式;第15页共15页(2)求证:≤Tn<1.[答案](1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.(2分)∵-=8n+4,∴(an+1+an)(an+1-an)=d(2a1-d+2nd)=8n+4.当n=1时,d(2a1+d)=12;当n=2时,d(2a1+3d)=20.解方程组得或(4分)经检验知,an=2n或an=-2n都满足要求.∴an=2n或an=-2n.(6分)(2)证明:由(1)知:an=2n或an=-2n.∴
7、an
8、=2n.∴Sn=n(n+1).(8分)∴==-.∴Tn=1-+-+…+
9、-=1-.(10分)∴≤Tn<1.(12分)5.已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)令bn=(-1)n-1,求数列{bn}的前n项和Tn.[答案]查看解析第15页共15页[解析](Ⅰ)因为S1=a1,S2=2a1+×2=2a1+2,S4=4a1+×2=4a1+12,由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得a1=1,所以an=2n-1.(Ⅱ)bn=(-1)n-1=(-1)n-1=(-1)n-1.当n为偶数时,Tn=-+…+-=1-=.当n为奇数时,Tn=-+…-+++=1+=.第1
10、5页共15页所以Tn=6.已知点的图象上一点，等比数列的首项为，且前项和(Ⅰ)求数列和的通项公式；(Ⅱ)若数列的前项和为，问的最小正整数是多少？[解析]解：(Ⅰ)因为，所以，所以，，，又数列是等比数列，所以，所以，第15页共15页又公比，所以，因为，又，所以，所以，所以数列构成一个首项为1，公差为1的等差数列，，所以，当时，，所以.（6分）(Ⅱ)由(Ⅰ)得，（10分）由得，满足的最小正整数为72.（12分）7.在数列，中，，，且成等差数列，成等比数列（）.（Ⅰ）求，，及，，，由此归纳出，的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：.[解析]（Ⅰ）由条件得，第15页共15页由
11、此可得.猜测.（4分）用数学归纳法证明：①当时，由上可得结论成立.②假设当时，结论成立，即，那么当时，.所以当时，结论也成立.由①②，可知对一切正整数都成立.（7分）（Ⅱ）因为.当时，由（Ⅰ）知.所以第15页共15页.综上所述，原不等式成立.(12分）8.已知数列的前项和是，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，，求使成立的最小的正整数的值．[解析] （1）当时，，由， ……………………1分 当时， ∴是以为首项，为公比的等比数列． ……………………4分 故 …………………6分（2）由（1）知，
