奇妙的自然数

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1、奇妙的自然数奇妙的自然数奇妙的自然数奇妙的自然数——平方镜反数人类要对自然数1，2，3，4，5，…有一番认识是需要经过一段相当长的时间的。可能我们的老祖宗在三万多年前打完野兽，吃饱了兽肉，在他所住的洞穴里画上他打的野兽的样子，并且像流落在荒岛上的鲁宾逊那样划线代表他所捕获的野兽的数目，划一条线代表打死一只野雉、二条线代表二只兔子等等，开始认识了这“一、二、三”。后来我们这个老祖宗的子孙懂得把捉来的小动物畜养起来，结束那饮血茹毛的穴居生活，而进入畜牧时代，这时他就要懂得更多的数，以便能计算他的羊圈里的羊群数目。等到

2、他的几代曾孙不想过择水草而居的迁徙生活，发现以耕种定居比到处奔波的生活好过些，人类的农业时代到来，这时人类的收成如麦谷之类数量是很大，这时候他就需要知道较大的自然数了。从懂得“一、二、三”这几个屈指可数的数，到千、万、亿等大数是人类认识数字的一个飞跃。在亚洲的缅甸、泰国、菲律宾，还有一些生活在深山老林的少数民族，他们对自然数的认识不超过七，七之后的数对他们来说是很大，他们算不清了。在非洲和南美洲及澳洲也有一些生活在石器时代的民族，他们懂得的数就更少了，不会超过三，三之后的数对他们来说就是个大数。我们中华民族也经历

3、了这个从文化落后到先进的过程，如果你对中国文字留心，就可发现这个进化的痕迹。在甲骨文里“一”字有时代表“余”、而“二”字是通用于“尔”，而你会发现很形象的“众”是三个人在一起表示多数人。比方说下面的句子：“我们再三警告越南当局，不要再做出伤害两国人民友好关系的事端，中国人民是可忍而不可辱的，忍耐有个限度，时机一到我们会作出我们应做的事。”这里我们用到的“再三”就是表示多次的意思。知道了自然数还不算是懂数学，真正要对自然数的一些确实性质有认识才算是了解数学。你或许会问“一、二、三”是这么简单的数2=1+1，3=2+

4、1，这里面有什么数学可以讲呢？有的，我可以现在就告诉你一个世界著名的数学难题，到现在还没有人解决，这个问题是卡达朗提出，所以也叫“卡达朗猜想”。你或许知道23=8，32=9，9-8=1吧！卡达朗认为除了x=3，m=2，y=2，n=3满足这样的关系式xm-yn=1以外，再找不到其他整数能满足以上的例子。这问题近年有狄兹德曼用很深的数学工具证明以上的方程只有有限个解。现在怎样证明这有限解只有一个是很难的问题，用中学的数学知识是不够解决这样的问题的。我这里想谈谈一些自然数的性质，读者只要有小学的算术知识，懂得加减乘除就

5、可以看懂这文章，而且自己也可以寻找出一些自然数的美妙性质。一位美国读者的有趣发现1979年3月中旬，在美国纽约州一间大学搞固态物理的梅维宁先生给我写了一封信，对我讲他的一个新发现，现在我把他的信一部分摘录下来：“某天，我闲得无聊、闷得发慌时，拿起小型计算机玩，发现一些蛮有趣的东西，野人献曝，拿出来，希望大家想一想：首先看：12，13是相邻的正整数，它们的平方和它们的反映的平方，也是它们相互的反映对换，我继续往下找，在两位数中找不到。在三位数中发现：2=12544　　44521=22=12769　　96721=2然

6、后四位数中：2=1236544　　4456321=22=1238769　　9678321=2五位数亦复如此。好，现在的问题是：是否在n位数，也是这样？还有没有其他的数字有此性质？为什么？我说过我是学物理的，对数论证明完全没有观念，只有一时好玩，提些小问题，大家动动脑筋……”梅先生的发现在我看来是很有趣的，他发现了几个这样特殊的数：这数的平方和它的镜子反映的数的平方在镜子中的反映恰巧相等。我们给这样的数这样的名称——“平方镜反数”。如下所示：　　11是平方镜反数，因为2=121，你从左边谈到右边，这和从右边谈到左边

7、的数是一样。当然22也是平方镜反数2=242。你会马上猜到33也是平方镜反数！很可惜这样猜想是错了，因为2=1089，这数和9801不一样。那么什么样的数是平方镜反数呢？我们先找所有少于一百的平方镜反数，读者通过考虑较简单的情形，就能进一步解决一般的情况。小于100的两位数可以表示成10，即x是大于或等于1，而小于或等于9的数字，而y是从0到9的数字。我们可以将10写成10x+y。例如23=2×10+3，如果10是平方镜反数，则y必须大于0。我们先看x=1的情形。现在再看式右边的y2×100，如果y是等于4那么我

8、们就有因此y只能从{1，2，3}这三个数中选择。我们看到2=121，2=144和2=441，2=169和2=961，所以11，12，13是平方镜反数。然后我们看x=2的情形：所以y只能是1或2，由于12是平方镜反数，所以21也是平方镜反数，明显22也是平方镜反数。最后我们看x=3的情形：观察，我们知道y不能大于1，因此我们只有31这个平方镜反数。因此除了梅先生找到的{12