武汉市部分重点中学2011——2012高二下学期期中考试数学试卷

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1、一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为（）A、2B、C、D、2、由曲线，直线及y轴所围成的图形的面积为（）A、B、4C、D、63、与曲线相切于点处的切线方程是（）A、B、C、D、4、若在上是减函数，则b的取值范围是（）A、B、C、D、5、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A、假设三内角都不大于60度B、假设三内角都大于60度C、假设三内角至多有一

2、个大于60度D、假设三内角至多有两个大于60度6、六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体，在中，，那么在平行六面体中，等于（）A、B、C、D、7、下面四个图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是图中的（）A、①②B、③④C、①③D、①④8、函数的定义域为，对任意，则的解集为（）A、B、C、D、9、对于函数，给出下列命题：①过该函数图象上一点的切线的斜率为；②函数的最小值等于；③该方程有四个不同的实数根；④函数在以及上都是增函数，其中正确命题的个数是（）A、1B、2

3、C、3D、410、定义方程的正实数根叫做函数的“新驻点”，若函数的“新驻点”分别为，则的大小关系为（）A、B、C、D、二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡相应位置上。11、已知，i为虚数单位，若，则x的值等于。12、函数在区间上的最大值是。13、若等比数列的首项为，且，则公比等于。14、观察下列等式：，，，，……，由以上等式推测到一个一般的结论：对于，。15、已知函数函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是。三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明

4、、证明过程或演算步骤。16、（12分）（1）证明：；（2）已知，求证：。17、（12分）已知数列满足，且。（1）求。（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明。18、（12分）设，其中a为正实数。（1）当时，求的极值点；（2）若在R不是单调函数，求a的取值范围。19、（12分）有一块边长为4的正方形钢板，现对其切割、焊接成一个长方体无盖容器（切、焊损耗忽略不计）。有人应用数学知识作如下设计：在钢板的四个角处各切去一个全等的小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高是小正方形的边长。（1）请你

5、求出这种切割、焊接而成的长方体容器的最大容积；（2）请你判断上述方案是否是最佳方案，若不是，请设计一种新方案，使材料浪费最少，且所得长方体容器的容积。20、（13分）已知函数，其中。（1）若直线是曲线的切线，求a的值；（2）设，求在区间上的最大值。（其中e为自然对数的底数）。21、（14分）已知函数，其中a为实数。（1）求函数的单调区间；（2）若函数对定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围。（3）证明，对于任意的正整数m，n，不等式恒成立。高二数学参考答案（理）一、选择题题号123456789

6、10答案AADCBBBBDC二、填空题11、212、13、314、15、三、解题题16、（12分）17、（12分）（1）……（3分）（2）猜想……（6分）（i）当时，已证成立（ii）假设时则即时也成立……（12分）18、（12分）（1）……（2分）当时，……（4分）在上递增，在上递减……（7分）（2）在R在不是单调函数即有两不同解……（12分）如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；将图②焊成长方体容器.新焊长方体容器底面是一长

7、方形，长为3，宽为2，此长方体容积为6，故第二种方案符合要求.……（12分）20、（13分）（1）设切点为①②由①②得：……（5分）（2）令得……（6分）当时，当时，在上递减在上递增当时，在上递减……10分……（13分）（3）由（2）知时，恒成立当且仅当时以“=”时，…………(14分)