南京大学2005级数学系数学分析3期中

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1、南京大学2005级数学系数学分析（三）期中测试一、举例(30分)1.举一个极限点在[0，1]区间上稠密的数列.2.举一个有振动间断点的函数.3.举一个连续但不是一致连续的函数.4.举一个可逆的可微函数，但其逆函数不可微.5.举一个非零的可微函数，它在某一点的任意阶导数均为零.6.举一个Riemann不可积的函数.7.举一个非负函数，它在上积分收敛，但极限不存在.8.举一个在上定义的二元函数，它分别对于变量x，y连续，但不是连续的二元函数.9.举一个偏导数存在但不可微的二元函数.10.举一个收敛但不绝对收敛的数项级数.二、(10分)假设一元函数f(x)一阶连续可导，令f(x)=x

2、2·f(x)，计算.三、(10分)研究一元函数的极值点、零点，并画出草图.四、(10分)计算积分.五、(10分)计算积分，其中S为四面体的边界曲面.六、(10分)计算二重积分,其中D为圆域.七、(10分)设函数f(x)在[0,1]区间二阶连续可微,且,.证明.一、(10分)设.证明：级数收敛的充分必要条件是级数收敛.二、(15分)设fn(x)是[0，1]上的非负连续函数，，级数在上一致收敛到f(x).若有限，证明：(i)收敛;(ii)进一步，假设，令则在[0,1]上一致收敛到.三、(10分)设为二元连续函数，证明：存在两个不同的点p，q使得.四、(15分)1)设f(t)连续，试

3、证明,其中.2)利用1)或者直接计算积分其中S是球面，且积分是沿球面外侧而取的.五、(10分)设为的向量值函数，且满足条件.这里，是上的标准范数.证明f可逆，且其逆映射也是的.