南京大学2005级数学系数学分析2期末 - copy

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1、南京大学2005级数学系数学分析（二）期末测试说明：前四道大题共100分，最后一题为附加题。考试时间共120分钟。未特别标明A、B卷的题目为公用题。一、叙述题(20分)1.设为多元向量值函数，.叙述f在可微的定义.(10分)2.（A卷）叙述正项级数Cauchy判别法（也叫根值判别法）的条件及结论，并举一个不能用Cauchy判别法判别收敛性的例子.(10分)（B卷）叙述正项级数d’Alembert判别法（也叫比值判别法）的条件及结论，并举一个不能用d’Alembert判别法判别收敛性的例子.(10分)二、判断题(20分)：

2、判断下列级数的敛散性并说明理由.（A卷）1.(5分)2.(5分)3.(5分)4.(5分)（B卷）1.(5分)2.(5分)3.(5分)4.(5分)三、计算题(20分)1.方程在附近决定了隐函数.求的值.(10分)2.（A卷）求函数在约束条件，下的极值.(10分)（B卷）求函数在约束条件，下的极值.(10分)第3页，共3页一、证明题(40分)1.（A卷）设级数收敛.证明：级数也收敛.（提示：Abel判别法）(10分)（B卷）设级数收敛.证明：级数也收敛.（提示：Abel判别法）(10分)2.（A卷）设为固定的实数，为可微的多

3、元函数，且.证明：i、;ii、当时，存在唯一的，使得.(10分)（B卷）设为固定的实数，为可微映射，且.证明：i、;ii、存在唯一的，使得.(10分)3.设，，记，.证明级数总是收敛的.（提示：可利用积分判别的思想.）(10分)4.设为n阶实正定对称方阵，为实数.考虑上的函数.证明：(i)f在上有唯一的最小值点;(ii)f的最小值为，这里是A的逆矩阵在ij位置的元素.(10分)二、附加题(10分)（A卷）设为可微的一一映射，f的Jacobi矩阵非退化，并且f的逆映射f-1连续.证明：f-1也是可微的.第3页，共3页（B卷

4、）设为可微的多元函数，且.证明：存在任意可微次的多元函数，使得.第3页，共3页