第10讲反比例函数

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1、第10讲　反比例函数考纲要求备考指津1.理解反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式．2．会画反比例函数图象，根据图象和解析式讨论其基本性质．3．能用反比例函数解决某些实际问题.　　反比例函数是中考命题热点之一，主要考查反比例函数的图象、性质及解析式的确定，考查形式以选择题、填空题为主，也经常与一次函数、二次函数及几何图形等知识综合考查．考点一　反比例函数的概念一般地，形如y＝或y＝kx－1(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数．1．反比例函数y＝中的是一个分式，所以自变量x≠0，函数与x轴、y轴无交点．2．反比例函数解析式可以写

2、成xy＝k(k≠0)，它表明在反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于已知常数k.考点二　反比例函数的图象与性质1．图象：反比例函数的图象是双曲线．2．性质：(1)当k＞0时，双曲线的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两支分别在二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大．注意双曲线的两支和坐标轴无限靠近，但永远不能相交．(2)双曲线是轴对称图形，直线y＝x或y＝－x是它的对称轴；双曲线也是中心对称图形，对称中心是坐标原点．考点三　反比例函数的应用1．利用待定系数法确定反比例函数解析式根据两变

3、量之间的反比例关系，设出形如y＝的函数关系式，再由已知条件求出k的值，从而确定函数解析式．2．反比例函数的实际应用解决反比例函数应用问题时，首先要找出存在反比例关系的两个变量，然后建立反比例函数模型，进而利用反比例函数的有关知识加以解决．1．下列四个点中，有三个点在同一反比例函数y＝的图象上，则不在这个函数图象上的点是(　　)．A．(5,1)B．(－1,5)C．D．2．已知反比例函数y＝，下列结论不正确的是(　　)．A．图象经过点(1,1)B．图象在第一、三象限C．当x＞1时，0＜y＜1D．当x＜0时，y随着x的增大而增大3．如图，正方形ABOC

4、的边长为2，反比例函数y＝过点A，则k的值是(　　)．A．2　　　　B．－2C．4D．－4一、反比例函数的图象与性质【例1】已知点(－1，y1)，(2，y2)，(3，y3)在反比例函数y＝的图象上．下列结论中正确的是(　　)．A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y1解析：∵－k2－1＜0，∴两个分支在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．当x＝－1时，y1＞0.∵2＜3，∴y2＜y3＜0.∴y1＞y3＞y2.答案：B1．由于双曲线自变量的取值范围是x≠0的实数，故其性质强调在每个象限内y随x的变化

5、而变化的情况．2．在比较双曲线上两点的横坐标或纵坐标的大小关系时，若两点在同一个象限内，可以根据其增减性来加以判断；若两点不在同一个象限内，可以通过比较正、负来判断．如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线y＝(x＞0)上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会(　　)．A．逐渐增大B．不变C．逐渐减小D．先增大后减小二、反比例函数解析式的确定【例2】如图，直线y＝2x与反比例函数y＝的图象在第一象限的交点为A，AB垂直于x轴，垂足为B，已知OB＝1，求点A的坐标和这个反比例函数的解析式．解：∵AB垂直x轴

6、于点B，OB＝1，且点A在第一象限，∴点A的横坐标为1.又∵直线y＝2x的图象经过A，∴y＝2x＝2×1＝2，即点A的坐标为(1,2)．∵y＝的图象过点A(1,2)，∴2＝.∴k＝2.∴这个反比例函数的解析式为y＝.反比例函数只有一个基本量k，故只需一个条件即可确定反比例函数．这个条件可以是图象上一点的坐标，也可以是x，y的一对对应值．三、反比例函数与一次函数的综合运用【例3】如图所示，在直角坐标系中，点A是反比例函数y1＝的图象上一点，AB⊥x轴的正半轴于B点，C是OB的中点；一次函数y2＝ax＋b的图象经过A，C两点，并交y轴于点D(0，－2

7、)，若S△AOD＝4.(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)观察图象，请指出在y轴的右侧，当y1＞y2时，x的取值范围．分析：点A是直线与双曲线的交点，求出点A的坐标是解决问题的关键．点A的坐标可由点D的坐标及△AOD的面积求得．解：(1)作AE⊥y轴于E，∵S△AOD＝4，OD＝2，∴OD·AE＝4.∴AE＝4.∵AB⊥OB，C为OB的中点，∴∠DOC＝∠ABC＝90°，OC＝BC，∠OCD＝∠BCA．∴Rt△DOC≌Rt△ABC．∴AB＝OD＝2.∴A(4,2)．将A(4,2)代入y1＝中，得k＝8，∴y1＝.将A(4,2)和D(0，－

8、2)代入y2＝ax＋b，得解之，得∴y2＝x－2.(2)在y轴的右侧，当y1＞y2时，0＜x＜4.反比例函数与一次函数的综合题，主要利用