初一竞赛讲座07（有关恒等式的证明）

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1、初一数学竞赛系列讲座(7)有关恒等式的证明 一、一、知识要点恒等式的证明分为一般恒等式的证明和条件恒等式证明，对于一般恒等式的证明，常常通过恒等变形从一边证到另一边，或证两边都等于同一个数或式。在恒等变形过程中，除了要掌握一些基本方法外，还应注意应用一些变形技巧，如：整体处理、“1”的代换等；对于条件恒等式的证明，如何处理好条件等式是关键，要认真分析条件等式的结构特征，以及它和要证明的恒等式之间的关系。二、二、例题精讲例1求证：a1+(1-a1)a2+(1-a1)(1-a2)a3+…+(1-a1)(1-a2)…(1-an-1)an

2、=1-(1-a1)(1-a2)…(1-an-1)(1-an)分析：要证等式成立，只要证明1-a1-(1-a1)a2-(1-a1)(1-a2)a3-…-(1-a1)(1-a2)…(1-an-1)an=(1-a1)(1-a2)…(1-an-1)(1-an)证明：1-a1-(1-a1)a2-(1-a1)(1-a2)a3-…-(1-a1)(1-a2)…(1-an-1)an=(1-a1)[1-a2-(1-a2)a3-(1-a2)(1-a3)a4-…-(1-a2)(1-a3)…(1-an-1)an]=(1-a1)(1-a2)[1-a3-(1-

3、a3)a4-(1-a3)(1-a4)a5-…-(1-a3)(1-a4)…(1-an-1)an]=(1-a1)(1-a2)(1-a3)[1-a4-(1-a4)a5-(1-a4)(1-a5)a6-…-(1-a4)(1-a5)…(1-an-1)an]=……=(1-a1)(1-a2)…(1-an-1)(1-an)∴原等式成立 例2证明恒等式(第二十届全俄数学奥林匹克九年级试题)证明        评注：裂项是恒等变形中常用的一种方法 例3若abc=1，求证分析：所要求证的等式的左边是三个分母差异很大的式子，因而变形比较困难。可以充分利用a

4、bc=1，将它们化成同分母。在的分子、分母上同乘c，化成，将的分母中的“1”换成abc得，然后再相加即可得证。证明：∵abc=1∴=+=+==1于是命题得证。评注：“1”的代换是恒等变形中常用的技巧。 例4已知bc=ad，求证：ab(c2-d2)=(a2-b2)cd分析：将bc=ad化成比例式，然后利用比例的性质来解题。证明：∵bc=ad∴将此三式左、右两边分别相乘得∴ab(c2-d2)=(a2-b2)cd评注：条件恒等式的证明常从已知条件出发推出结论。 例5已知x=by+cz，y=cz+ax，z=ax+by，且x+y+z≠0.证

5、明：分析：所证明的式子中不含x、y、z，因而可以将已知条件中的三个等式中的x、y、z看成常数，把三个式子联合起来组成一个关于a、b、c的方程，然后求出a、b、c。再代入等式的左边证明。证明：解方程组(2)+(3)-(1)得y+z-x=2ax，所以所以同理可得，，所以评注：将含有字母的等式视为方程，是方程思想的应用。例6数x、y、z满足关系式证明：(第十六届全俄数学奥林匹克十年级试题)证明：将已知等式分别乘以x、y、z得①②③①+②+③得所以即： 例7已知a+b+c=a2+b2+c2=2，求证：a(1-a)2=b(1-b)2=c(1

6、-c)2分析：求证的等式中的各式，恰好是多项式x(1-x)2中的x分别取a、b、c时的值。因此，本题可转化为证明当x分别取a、b、c时，x(1-x)2的值不变。由于x(1-x)2是关于x的三次多项式，且注意到题设条件，所以我们构造三次式(x-a)(x-b)(x-c)，建立它与x(1-x)2之间的某种关系。证明：∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca又∵a+b+c=a2+b2+c2=2∴4=2+2ab+2bc+2ca，∴ab+bc+ca=1∴(x-a)(x-b)(x-c)=x3-(a+b+c)x2+(ab+bc

7、+ca)x-abc=x3-2x2+x-abc即x(1-x)2=(x-a)(x-b)(x-c)+abc由此可见，当x分别取a、b、c时，x(1-x)2的值都是abc∴a(1-a)2=b(1-b)2=c(1-c)2评注：本题的证明采用了构造法，它构造了三次式(x-a)(x-b)(x-c)，然后建立它与x(1-x)2之间的关系，再通过赋值来证明。 例8设，证明(1)(1)   a、b、c三数中必有两个数之和为零；(2)(2)   对任何奇数n，有分析：要求a、b、c三数中必有两个数之和为零，即要证(a+b)(b+c)(c+a)=0，故可

8、对已知条件进行变形，使它出现(a+b)、(b+c)、(c+a)这些因式。证明：(1)由得从已知知a、b、c≠0，所以abc≠0，且a+b+c≠0，则(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=0∵(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=a(bc