概率的起源——都是色子惹的祸

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1、概率的起源——都是色子惹的“祸”   三四百年前在欧洲许多国家，贵族之间盛行赌博之风。掷色子（又名骰子）是他们常用的一种赌博方式。大家知道，色子形状为小正方体，当它被掷到桌面上时，每个面向上的可能性是相等的，即出现点数1至点数6中任何一个点数的可能性是相等的。　　利用色子赌博的方式可谓五花八门。很自然，赌徒们最关心的就是：如何在赌博中不输！　　当时赌徒提出的一个我们现在看来很简单的问题就是：如果同时掷两颗骰子，则点数之和为9与点数之和为10，押在哪个点数上赢的机会较大？　　17世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族公子

2、哥儿——德·梅尔，发现了这样的事实：将一枚骰子连掷四次至少出现一个六点的机会比较多，而同时将两枚骰子掷24次，至少出现一次双六的机会却很少。　　这是什么原因呢？后人称此为著名的德·梅尔问题。   诸如此类的需要计算可能性大小的赌博问题提出了不少，但赌徒他们自己无法给出答案。 数学家们“参与”赌博   意大利医生兼数学家卡尔当诺（Cardano）参与了大量的赌博游戏。他在赌博时研究不输的方法，实际是概率论的萌芽。   卡尔当诺解决了如下问题：把两枚骰子掷出去，以每个骰子朝上的点数之和作为赌的内容。赌注下在多少点上最有利？ 2

3、34567345678456789567891067891011789101112   两枚骰子朝上的面共有36种可能，点数之和分别可为2～12共11种。从表中可知，7是最容易出现的和数，它出现的可能性是6/36=1/6。   由此，卡尔当诺预言说押7最好。   现在看来这个想法是很简单的，可是在卡尔当诺的时代，应该说是很杰出的思想方法。从表中我们还不难看出：点数9出现的可能性（4/36）要比点数10出现的可能性（3/36）大一些，所以押在点数9赢的机会大于押在点数10。   在那个时代，虽然概率论的萌芽有些进展，但还没有

4、出现真正的概率论。   公元1651年夏天，当时盛誉欧洲号称“神童”的数学家帕斯卡（Pascal），在旅途中偶然遇到了赌徒德·美尔（DeMere），他对帕斯卡大谈“赌经”，以消磨旅途时光。德·美尔还向巴斯卡请教一个亲身所遇的“分赌金”问题。   问题是这样的：一次德·美尔和赌友掷骰子，各押赌注32个金币，德·美尔若先掷出三次“6点”，或赌友先掷出三次“4点”，就算赢了对方。赌博进行了一段时间，德·美尔已掷出了两次“6点”，赌友也掷出了一次“4点”。这时，德·美尔奉命要立即去晋见国王，赌博只好中断。那么两人应该怎么分这64个

5、金币的赌金呢？   赌友说，德·美尔要再掷一次“6点”才算赢，而他自己若能掷出两次“4点”也就赢了。这样，自己所得应该是德·美尔的一半，即得64个金币的三分之一，而德·美尔得三分之二。德·美尔争辩说，即使下一次赌友掷出了“4点”，两人也是秋色平分，各自收回32个金币，何况那一次自己还有一半的可能得16个金币呢？所以他主张自己应得全部赌金的四分之三，赌友只能得四分之一。   公说公有理，婆说婆有理。德·美尔的问题居然把帕斯卡给难住了。他为此苦苦想了三年，终于在1654年悟出了一点儿道理。于是他把自己的想法写信告诉他的好友，当

6、时号称数坛“怪杰”的费尔马（Fermat），两人对此展开热烈的讨论。他们频频通信，互相交流，围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。这些问题后来被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉，回荷兰后，他独立地进行研究。帕斯卡和费尔马一边亲自做赌博实验，一边仔细分析计算赌博中出现的各种问题，终于完整地解决了“分赌金问题”，并将此题的解法向更一般的情况推广，从而建立了概率论的一个基本概念——数学期望，这是描述随机变量取值的平均水平的一个量。而惠更斯经过多年的潜心研究，解决了掷骰子中的一些数学问题。1657年，他将自己的研究成果写成了专

7、著《论掷骰子游戏中的计算》。这本书迄今为止被认为是概率论中最早的论著。因此可以说早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费尔马和惠更斯。这一时期被称为组合概率时期，主要是计算各种古典概率。   在他们之后，对概率论这一学科做出贡献的是瑞士数学家族——贝努利家族的几位成员。雅可布·贝努利在前人研究的基础上，继续分析赌博中的其他问题，给出了“赌徒输光问题”的详尽解法，并证明了被称为“大数定律”的一个定理，这是研究等可能性事件的古典概率论中的极其重要的结果。大数定律证明的发现过程是极其困难的，他做了大量的实验计算，首先猜想到这一事实，然

8、后为了完善这一猜想的证明，雅可布花了20年的时光。雅可布将他的全部心血倾注到这一数学研究之中，从中他发展了不少新方法，取得了许多新成果，终于将此定理证实。　　1713年，雅可布的著作《猜度术》出版。遗憾的是在他的大作问世之时，雅可布已谢世8年之久。　　雅可布的侄子尼古拉·贝努利也真正地参与了“赌博”。他