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1、MATLAB编程基础 之数值微积分、多项式第七讲8/12/202113.7MATLAB数值积分与微分3.7.1差分和偏导数1.差分在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计算向前差分的函数diff，其调用格式为：DX=diff(X)：计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,…,n-1。DX=diff(X,n)：计算X的n阶向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X))。DX=diff(A,n,dim)：计算矩阵A的n阶差分，dim=1时(缺省状态)，按
2、列计算差分；dim=2，按行计算差分。8/12/20212例1差分运算示例命令如下：A=[123456789101112131415161718];%生成1维矩阵A1=reshape(A,6,3)'%转换为3×6维矩阵A1=123456789101112131415161718B1=diff(A1)%求1维1阶差分B1=666666666666B2=diff(A1,1,2)%求2维1阶差分B2=111111111111111B3=diff(A1,2)%求1维2阶差分B3=0000008/12/202132.梯
3、度和偏导数二元及多元函数F(x,y，…)的求导FX=gradient(F)[FX,FY]=gradient(F)[…]=gradient(F,h)8/12/20214例2求二元函数的偏导数%生成二元函数v=-2:0.2:2;[x,y]=meshgrid(v);z=x.*exp(-x.^2-y.^2);%绘制曲面，如图3-4所示figure(1)mesh(x,y,z);[px,py]=gradient(z,.2,.2);%求偏导数figure(2)contour(v,v,z)%绘制等高线，如图3-5所示hold
4、onquiver(v,v,px,py)%绘制矢量场图，小箭头表示梯度holdoff8/12/20215数值积分数值积分基本原理求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。8/12/202163.7.2一元函数的数值积分数值积分的实现方法1．变步长辛普生（Simp
5、son）法（精度较高，较常使用）基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为：[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。8/12/20217函数部分functionf=quad1(x)f=1./(x.^
6、3-2*x-5);%编制函数m文件调用命令Q=quad('quad1',0,2)%在同一目录下，计算积分值Q=-0.46058/12/20218求定积分。(1)建立被积函数文件fesin.m。functionf=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);(2)调用数值积分函数quad求定积分。[S,n]=quad('fesin',0,3*pi)S=0.9008n=778/12/202192.自适应Lobatto法(精度较高，最常使用)q=quadl(fun,a,b)q=quadl(
7、fun,a,b,tol)%采用内联函数形式，第二个参数为变量例3-25求Q=sin2x+cosx从2*pi到0的定积分f=inline('sin(2*x)+cos(x).^2','x');Q=quadl(f,0,2*pi)%求取积分值Q=3.1416训练任务：请采用编制m函数求该函数积分8/12/2021103.7.3多重数值积分使用MATLAB提供的dblquad函数就可以直接求出上述二重定积分的数值解。该函数的调用格式为：I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)该函数求f(x,y)在[
8、a,b]×[c,d]区域上的二重定积分。参数tol，trace的用法与函数quad完全相同。8/12/202111计算二重定积分(1)建立一个函数文件fxy.m：functionf=fxy(x,y)globalki;ki=ki+1;%ki用于统计被积函数的调用次数f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);(2)调用dblquad函数求解。globalki;ki=0;I=dblquad(
