天津大学-刘金兰应用统计学5

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1、参数估计解决的主要问题是什么？点估计与区间估计的区别是什么？5.1点估计所谓点估计就是由样本x1,x2,…xn确定一个统计量用它来估计总体的未知参数，称为总体参数的估计量。当具体的样本抽出后，可求出样本统计量的值。用它作为总体参数的估计值，称作总体参数的点估计。1.无偏性(unbiasedness)设　为总体未知参数　的估计量若则称　是　的无偏估计量，称　具有无偏性。如果是有偏估计量，则它的偏差量为偏差=5.1.1衡量估计量优劣的标准注:具有无偏性。，对于，具有无偏性5.1.1衡量估计量优劣的标准2．一致性（consistency）如果对任意

2、小的正数，有则称是的一致估计量，称具有一致性，可以证明均具有一致性。5.1.1衡量估计量优劣的标准3．有效性若都是的无偏估计量且或则称较为有效估计量。的有效估计量5.1.1衡量估计量优劣的标准4．罗—克拉美不等式两个以上的无偏估计量具有最小方差最佳无偏估计量一个估计量罗—克拉美不等式检验非最佳无偏估计量5.1.1衡量估计量优劣的标准4．罗—克拉美不等式对于一个无偏估计量的方差在一般的条件下，其方差永远不会小于一个正数，这个正数是的下限，它依赖于总体的概率密度函数和样本容量n即:注：当等于不等式右端时，这时称为最佳无偏估计量。5.1.1衡量估计

3、量优劣的标准[例5.1]若，是总体均值的最佳无偏估计量。［证］5.1.1衡量估计量优劣的标准罗—克拉美下限值为为的最佳无偏估计量5.1.1衡量估计量优劣的标准1.特征数法：用总体特征数对应的样本特征数作为其点估计5.1.2点估计的常用方法2．最大似然法设总体X的概率分布为或概率密度为其中是未知参数。如何求极大似然估计量呢？5.1.2点估计的常用方法求最大似然估计量的步骤为:(1)对给定的总体X，写出似然函数(2)列出似然方程(3)求解上述方程，得关于的解即为的最大似然估计量。5.1.2点估计的常用方法含多个参数令似然方程或最大似然解5.1.2

4、点估计的常用方法［例5.2］从正态分布总体X抽取随机样本X1，X2，…，Xn。求的最大似然估计量。解　因为:所以，X的概率密度数函数为5.1.2点估计的常用方法因此，似然函数其对数函数5.1.2点估计的常用方法求得似然方程组即即解方程组得5.1.2点估计的常用方法5.2.1区间估计的概念的样本使得置信度1-α5.2区间估计置信度1－α下θ的置信区间：1-α是置信度，置信度也称为置信概率α称为显著性水平则称5.2.1区间估计的概念一.总体均值的区间估计总体服从正态分布,σ2已知时当时，（5－7）根据区间估计的定义，在1－α置信度下，总体均值μ的

5、置信区间为：（5－8）5.2.2单个总体参数的区间估计即：（5－9）从而有（5－10）即在1－α置信度下，μ的置信区间为：（5－11）5.2.2单个总体参数的区间估计[例5.5]已知某零件的直径服从正态分布，从该批产品中随机抽取10件，测得平均直径为202.5mm，已知总体标准差σ=2.5mm，试建立该种零件平均直径的置信区间，给定置信度为0.95。解：已知=202.5,n=10,1－α=0.95查标准正态分布表，得μα/2=1.96所以在1－α置信度下，μ的置信区间为5.2.2单个总体参数的区间估计即计算结果为：[200.95,204.0

6、5]5.2.2单个总体参数的区间估计σ2未知时（1）n≥30时，只需将中的σ用S近似代替即可（2）n<30时，由（5－12）所以（5－13）即（5－14）5.2.2单个总体参数的区间估计n≥30时，只需将中的σ用S近似代替即可。n<30时,由σ2未知时5.2.2单个总体参数的区间估计所以：（5－15）即在1－α置信度下，μ的置信区间为（5－16）5.2.2单个总体参数的区间估计[例5.6]某大学从该校学生中随机抽取100人，调查到他们平均每人每天完成作业时间为120分钟，样本标准差为30分钟，试以95％的置信水平估计该大学全体学生平均每天完成

7、作业时间。解：1-α=0.95μα/2=1.96在95％的置信度下，μ的置信区间为5.2.2单个总体参数的区间估计由上：即[114.12,125.88]5.2.2单个总体参数的区间估计二.总体方差的区间估计（5－17）（5－18）（5－19）5.2.2单个总体参数的区间估计所以在1-α置信度下：（5－20）（5－21）σ2的置信区间总体标准差σ的置信区间为5.2.2单个总体参数的区间估计三、总体比率的区间估计根据中心极限定理，当n较大时，时，二次分布近似正态分布。即将正态分布标准化，得（5－27）5.2.2单个总体参数的区间估计在给定置信度为

8、时，有（5－28）括号内5.2.2单个总体参数的区间估计记5.2.2单个总体参数的区间估计于是有解得p的置信区间为（5－29）5.2.2单个总体参数的区间估计另一种