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时间:2018-10-14
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1、第十五讲数学竞赛试题选讲例1计算:(1+3+5+…+1989)-(2+4+6+…+1988)(1988年北京市小学数学奥林匹克邀请赛试题) 解法1: 原式=[(1989+1)÷2]2-(1988÷2)×(1988÷2+1) =9952-994×995 =995×(995-994) =995. 解法2:去括号,得 原式=1+3+5+…+1989-2-4-6-…-1988 =1+(3-2)+(5-4)+…+(1989-1988) =995. 说明:解法1是应用两个常见的公式: 前n个奇数的和 1+3+5+…+(2n-1)
2、=n2. 前n个偶数的和 2+4+6+…+2n=n×(n+1). 解法2是采用适当分组的方法转化为相同加数的加法问题,即将低级运算(加法)转化为高级运算(乘法).例2计算:1+2+3+4…+99+100+99+…+4+3+2+1 解:运用加法的交换律与结合律,得 原式=(1+99)+(99+1)+(2+98)+(98+2)+… +(50+50)+100 =100×100 =10000. 说明:由本例可以推广为一般公式: 1+2+3+…+(n+1)+n+(n-1)+…+3+2+1=n2.例3计算:1×2+2×3+3×4+…
3、+100×101 分析根据题目数据的特点,把各加数作如下恒等变形: 1×2=(1×2×3)÷3; 2×3=(2×3×4-1×2×3)÷3; 3×4=(3×4×5-2×3×4)÷3; … 100×101=(100×101×102-99×100×101)÷3;然后运用拆项对消的方法即可计算出和式的结果. 解:原式=[1×2×3+(2×3×4-1×2×3)+(3×4×5 -2×3×4)+…+(100×101×102-99 ×100×101)]÷3 =[1×2×3+2×3×4-1×2×3+3×4×5 -2×3×4+…+100×10
4、1×102-99×100 ×101]÷3 =100×101×102÷3 =343400. 说明:本题可以推广为一般公式: 1×2+2×3+3×4+…+n×(n+1)=n×(n+1)×(n+2)÷3.例4计算: 解:因为 111111111=9×12345679, 于是有 (由乘法结合律) 例5在下面各数之间,填上适当的运算符号和括号,使等式成立:106932=48(1994年北京市小学生“迎春杯”决赛试题) 解:填法不唯一.下面给出几种常见的填法: 10×6-(9-3)×2=48; (10+6)×(9-3×
5、2)=48; 10+6×(9-3)+2=48; 10×(6+9)÷3-2=48; (10+6)×(9-3)÷2=48. 说明:在欧美流行一种数学游戏:试用4个给定的自然数经过四则运算的结果等于24.本例与这种游戏是类似的,它们对于发展学生的数学思维是十分有益的.例6右图中六个小圆圈中的三个分别填有15、26、31三个数.而这三个数分别等于和它相邻的两个空白圆圈里的数的和,那么,填在三个空白圆圈里的数中,最小的一个数是______. 解:设15与26之间的圆圈里的数是a, 26与31之间的圆圈里的数是b, 15与31之间的圆圈里的数
6、是c, 依题意,有 a+b=26,b+c=31,a+c=15; 于是可知2(a+b+c)=26+31+25, 即a+b+c=36; 因此,最小数是:a=36-31=5. b、c、d、e、f、g、h是0、1、2、…、9中的8个不同整数且a≠ 分析本题可转化为如下数字迷: 解:先确定g=0,c=9. 假设竖式加法中,十位数字g≠0或者个位数字h+4≥10,则百位上的数字b=f,不合题意.因此,可以推断g=0且h+4<10.于是c=9. ≠a,则取a=8,而f≠0=g且f=b+1,故有f+9>10,于是e=6;其次应该使百位数
7、字b尽可能大,由b与f是相邻自然数,则取b=4、f=5;最后令个位数字d尽可能大,则取d=7,故有h=3.这样就得到A的最大值为:8497+6503=15000. 类似地,要使A尽可能小,依次取a=3、e=1,b=4、f=5,d=6、h=2.这样就得到A的最小值为: 3496+1502=4998.例8如右图,AB、CD、EF、MN互相平行,则右图中梯形的个数与三角形的个数相差多少? 解:首先计算右图中三角形的个数.由于所有三角形都以O点为顶点;且以AB或CD或EF或MN上的线段为底的三角形各有: 4+3+2+1=10(个). 因此,
8、图中一共有三角形: 10×4=40(个). 其次计算上图中梯形的个数.由于从AB、CD、EF、MN中任意选出两条为上、下底时各有梯形: 4+3+
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