第17章 数理统计初步

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1、28《高等数学》精品课程—《概率统计》部分—电子教案第十七章数理统计初步运用概率论的知识研究如何从试验资料出发，对随机变量的概率分布或某些特征（如数字特征）作出推断的学科，称为数理统计学.数理统计的内容很丰富，其主要内容大致分两个方面：估计理论和统计假设检验.本章就数理统计的基本概念、参数估计、假设检验及回归分析等问题作一简单介绍.§1基本概念本节我们介绍数理统计的基本概念：总体、样本及统计量等，并着重介绍常用的几个统计量和它们的抽样分布.一、总体、个体与样本在数理统计中，通常研究对象的全体称为总体，而把总体中的每一个对

2、象称为个体.如要研究某厂年生产灯泡的寿命，该批灯泡的寿命的全体就是总体，而每个灯泡的寿命即为个体，它是一个实数.又如在研究某市中学生身高与体重时，该市中学生身高与体重的数对全体就是总体，而个体就是每个学生的身高与体重.注意，灯泡的寿命、中学生的体重与身高一般是随个体而变化的，它是一个随机变量（或多维随机变量），这样，我们讲的该厂年产灯泡的寿命（或某中学生身高与体重）这一总体，就是该随机变量（或多维随机变量）取值的全体，并且在总体中各种寿命（或各种身高与体重）的分布就对应着该随机变量（或多维随机变量）的分布.由此看来，一个

3、总体和一个随机变量（或多维随机变量）相互对应，因此，今后我们把总体与随机变量（或多维随机变量）等同起来.当总体对应于一维随机变量时，我们称该总体为一维的，否则称为多维的.本章重点讨论一维总体的情况，今后若无特别声明，所述总体都是指一维随机变量.要将一个总体的性质了解清楚，最理想的是对每个个体逐个进行观测，但实际上这样做往往是不现实的.原因是（1）要观测得到全部个体的信息，需耗费大量人力、物力、财力及时间；（2）有些实际问题则根本办不到.如破坏性试验.因此在数理统计中，我们总是从总体中抽取一部分个体，然后对这些个体进行观测

4、或测试某一指标的数值，并以取得的数据信息来推断总体的性质.这种从总体中抽取部分个体进行观测或测试的过程称为抽样.假定从总体中抽取了个个体由于抽取是随机的，抽取之前并不知道这个个体究竟是什么，因此，是随机变量.我们称为总体的一个样本，样本中个体的数目称为样本容量.当一次抽样完成后，我们得到个具体的数据它称为样本的一个样本值（或试验值）.注意，样本值实际上是多维随机变量的一个取值.我们把样本的所有可能取值的全体称为样本空间，这样，一个样本值就是样本空间中的一个点.第28页共28页28《高等数学》精品课程—《概率统计》部分—电

5、子教案实际上，从总体中抽取样本可以有各种不同的方法.为了使抽到的样本能够对总体作出较为可靠的推断，就希望样本能很好地代表总体，这就需要对抽样方法提出一些要求.要求的方式有很多，但是在数学处理上比较方便、实际抽样中也比较容易办到的是满足下列两个条件的样本：（1）和总体具有相同的分布；（2）相互独立.我们称满足上面两个条件的样本为简单随机样本.如对的次独立重复试验，其结果为一简单随机样本.在实际问题中常用的获取简单随机样本的方法有：抽签法、随机数表法.由于本章只对简单随机样本进行讨论，因此，若无声明，所说的样本都是指简单随机

6、样本.简单随机样本的分布完全由总体分布所决定，如总体具有分布函数或密度函数，则样本就具有分布函数或密度函数二、统计量样本是进行统计推断的依据，但在实际应用时，往往不是直接使用样本本身，而是针对不同的问题构造样本的适当的函数，利用这些函数进行统计推断.定义1设为总体的一个样本，是样本的函数，且不含任何未知参数，则称为统计量.例如，是一个统计量.若其中已知，未知，则与都是统计量，而不是统计量.下面介绍两种最基本的统计量：样本矩和顺序统计量.定义2设为总体的样本，是这一样本的观测值.定义统计量为样本均值（17.1）样本方差（1

7、7.2）样本标准差（17.3）样本阶原点矩（17.4）第28页共28页28《高等数学》精品课程—《概率统计》部分—电子教案样本阶中心矩（17.5）它们的试验值分别为（17.6）（17.7）（17.8）（17.9）若和分别来自两个总体与，可以定义样本相关矩（17.10）样本相关系数（17.11）另外，在样本矩的计算中经常需要用到下列公式：（17.12）（17.13）其中为常数，特别当时，有（17.14）若则（17.15）其中为常数，（17.16）这些公式的证明是非常容易的，留给读者自己练习.第28页共28页28《高等数学》

8、精品课程—《概率统计》部分—电子教案定义3顺序统计量设为总体的一个样本，为样本值，将按大小顺序排列成定义统计量如下：当取时称为样本的顺序统计量.特别称为样本中位数.统计量称为样本极差.三、抽样分布利用统计量对总体的某种性质进行推断时，一般要借助于统计量的分布，这样，计算统计量的分布在数理统计中就显得比较重要，通常称统