第三届保良局(香港)国际小学数学竞赛

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1、第三届保良局(香港)国际小学数学竞赛(1999．7)队际赛试卷1.分数可以写成1+形式，其中x，y，z都是不同的整数。试求x+y+z的值10。因题形式中x=5，y=3，z=2。2、有一个关于毕达哥拉斯的故事是说，他有一次处罚学生，要他来回数在戴安娜神庙的七根柱子(这七根柱子分别标上A，B，C，…，G)，一直到指出第1999根柱子的标号是哪一个才能够停止。你可否帮助他尽快结束这个处罚?ABCDEFG12345671312111098141516171819252423222120………………………………G柱子。因G柱子上的数是7，19

2、，31，…。1999=12×(167-1)+7，说明1999恰好是G柱子上的第167个数。3、99个苹果要分给一群小朋友，每一个小朋友所分得的苹果数都要不一样，且每位小朋友至少要有一个苹果。试问这群小朋友最多有几位?13(位)。1+2+3+…+13=91<99，1+2+3+…+14=105>99，说明若13位各分得l，2，3，…，13个苹果未分完99个，若14位各分得l，2，3，…，14个苹果则超出99个。因91+8=99，在13位上述分法中若把剩下的8个苹果分别加到后8位人上，就可得合题意的一个分法：13人依次分1，2，3，4，5，

3、7，8，9，10，11，12，13，14个。所以最多有13位小朋友。(注：13人的分法不惟一)4、一个家具店在1998年总共卖了213张床。起初他们每个月卖出25张床，之后每个月卖出16张床，最后他们每个月卖出20张床。试问他们共有多少个月是卖出25张床?1个月。设卖25、16、20张床的月份分别为n、m、p个月(n，m，p为自然数)，则n+m+p=12，25n+16m+20p=213。将m=12-n-p代入后一式，化简后有9n+4p=21。显然此方程在自然数范围内只有n=1，p=3。故只有1个月卖25张床。5、请把l，2，…，9的数

4、字填入下左图五个圆的9个区域中(每一个区域只填入一个数字)，使得每一个圆中的数字的总和皆相等。有三类填法如下三图所示。1+2+3+…+9=45，设四个重复区域(月牙形)内分别填A，B，C，D，由题意知，45+A+B+C+D能被5整除，所以A+B+C+D能被5整除。显然，A+B+C+D=O，5不合题意。若A+B+C+D=10，则A，B，C，D只可取为1，2，3，4。因(45+10)÷5=11，所以每个圆中的数字和为11。有如下图1的一类填法。同理，每个圆中的数字和为13时，有如下图2的一类填法（此时，A，B，C，D只能取6，2，8，4)

5、。每个圆中的数字和为14时，有如下图3的一类填法(此时，A，B，C，D只能取6，7，3，9)。6、下右图中5、8和10分别代表包含该数字的三个三角形的面积。试问包含X这个数字的四边形面积是多少?22。如右图，设虚线把四边形X分成a、b两个三角形。利用同高的两个三角形面积之比等于相应底边之比，可得：(可化简为2a-b=8①)和(可化简为5b-4a=20②)，①×2-②得3b=36．则b=12。代入①得a=10故X=a+b=10+12=22。7、运动员A和运动员B在平地上的速度分别为每分钟140米与l00米。但是，当他们下坡时，其速度每分

6、钟均增加20米，当他们上坡时速度每分钟均减少20米。今他们同时从斜坡上开始出发，跑到斜坡下再往回跑，如此继续下去。如果他们第三次面对面相遇时的位置与第一次运动员A追上运动员B的位置之间相距是200米。试问这个斜坡的长度是多少?400米。由题意知，在相同时间内，①B下坡与A下坡的路程之比为；②B上坡与A上坡的路程之比为；③B下坡与A上坡的路程相等；④B上坡与A下坡的路程之比是。由这些结果和图示知，第三次面对面相遇在斜坡的中点处，第一次A追上B在斜坡底。所以斜坡长=200×2=400(米)。8、1×4×7×10×…×1999的积可以表示成

7、7a·l0bA的形式，其中a、b与A都是正整数。试求a+b的值，其中a、b两数愈大愈好。277。积的各因数为an=3n-2(n=1，2，3，4，…，667)，则积=al·a2·a3·a4·…·a667。考察这积中含7的个数：①a3=7×1，al0=7×4，al7=7×7，a24=7×10，…，a661=7×283，共95个(95是由等差数列3，10，17，24，…661求项数得，即由661=7(n-1)+3解得n=95)，都含有一个7，共95个7；②a17=72×1，a66=72×4，a115=72×7，a164=72×10，，…，a

8、654=72×40，共14个，每个又多含一个7，共14个7；③a115=73×1，a458=73×4中，又各多含一个7，共2个7。所以积中含7的个数是95+14+2=11l(个)，即最大的a=11l。考察积中含10的个数