正四面体与正方体例话

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1、多面体题根解正方体一、正方体高考十年二、正四面体与正方体三、正方体成为十年大难题四、解正方体五、解正四面体1一、正方体高考十年十年来，立体几何的考题一般呈“一小一大”的形式.分数约占全卷总分的八分之一至七分之一.立几题的难度一般在0.55左右，属中档考题，是广大考生“上线竞争”时势在必夺的“成败线”或“生死线”.十年的立几高考，考的都是多面体.其中：（1）直接考正方体的题目占了三分之一；（2）间接考正方体的题目也占了三分之一.因此有人说，十年高考，立体几何部分，一直在围绕着正方体出题.正四面体与正方体例话2解析外接球的表面积，比起内接正方体的全面积

2、来，自然要大一些，但绝不能是它的(C)约6倍或(D)约9倍，否定(C)，(D)；也不可能与其近似相等，否定(A)，正确答案只能是(B).（1995年）正方体的全面积为a2，则其外接球的表面积为考题1（正方体与其外接球）3考题2（正方体中的线面关系）小问题很多，但都不难.熟悉正方体各棱、各侧面间位置关系的考生，都能迅速作答.如解答（1），只要知道棱AD与后侧面垂直就够了.说明（1997年）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．（1）证明AD⊥D1F；（2）求AE与D1F所成的角；（3）证明面AED⊥面A1FD1；

3、（4）设AA1=2,求三棱锥F-A1ED1的体积.4考题3（正方体的侧面展开图）考查空间想象能力.如果能从展开图（右上）想到立体图（右），则能立即判定命题①、②为假，而命题③、④为真，答案是C.解析（2001年）右图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（A）①②③（B）②④（C）③④（D）②③④5（2002年）在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是考题4（正方体中主要线段的关系）射影法：作AB在CD所在平面上的射影，由三垂线定理知

4、其正确答案为A.平移法：可迅速排除(B)，(C)，(D)，故选（A）.解析6（2003年）棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为考题5（正方体与正八面体）解析将正八面体一分为二，得2个正四棱锥，正四棱锥的底面积为正方形面积的，再乘得.答案选C.7考题6（正方体中的三角形）解析在正方体上任选3个顶点连成三角形可得个三角形，要得直角非等腰三角形，则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有24个，得，所以选C.8在三棱锥O—ABC中，三条棱OA、OB、OC两两互相垂直，且OA=OB=OC，M是AB边的

5、中点，则OM与平面ABC所成角的正弦值是考题72006年四川卷第13题——正方体的一“角”如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点，M、N分别是AE、CD1的中点，AD=AA1=a，AB=2a.（1）求证：MN∥面ADD1A1；（2）求二面角P—AE—D的大小；（3）求三棱锥P—DEN的体积.考题82006年四川卷第19题——两正方体的“并”P9如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m.(Ⅰ)试确定m,使得直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3；(Ⅱ)在线段A1

6、C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP.并证明你的结论.分析：熟悉正方体对角面和对角线的考生，对第(Ⅰ)问，可心算出结果为m=1/3；对第(Ⅱ)问，可猜出这个Q点在O1点.可是由于对正方体熟悉不多，因此第(Ⅰ)小题成了大题，第(Ⅱ)小题成了大难题.考题9（2006年湖北卷第18题）10考题10（2006年安徽卷第16题）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到

7、平面的距离可能是：①3；②4；③5；④6；⑤7以上结论正确的为______________.（写出所有正确结论的编号）11二、正四面体与正方体从“正方体高考十年”和“全国热炒正方体”中，我们看到正方体在立体几何中的特殊地位.在实践中，正方体是最常见的多面体；在理论上，所有的多面体都可看作是由正方体演变而来.我们认定了正方体是多面体的“根基”.我们在思考：（1）正方体如何演变出正四面体？（2）正方体如何演变出正八面体？（3）正方体如何演变出正三棱锥？（4）正方体如何演变出斜三棱锥？正四面体与正方体例话12考题1（正四面体化作正方体解）说明本题如果就正

8、四面体解正四面体，则问题就不是一个小题目了，而是有相当计算量的大题.此时的解法也就沦为拙解.13拙解——硬碰正四面体14联