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1、现代科学工程计算基础课后习题第一章绪论基本上不会考，略第二章函数的插值与逼近1.(1)证明：由题意有??(x)=(x−?0)(x−?1)···(x−?k;1)，则有以下式子:ω0(?)=1ω1(?)=0,(?=?0)ω2(?)=0,(?=?0,?1)······ω?;1(?)=0,(?=?0,?1,···,??;2)ω?(?)=0,(?=?0,?1,···,??;2,??;1)考察a0?0(x)+a1?1(x)+···+a?;1??;1(x)+a???(x)=0的系数，依次代入x0,x1,···,x?;1得：a0?0(x0)=0,又ω0(?)=1,
2、可得a0=0a0?0(x1)+a1?1(x1)=0,可得a1=0······a0?0(xk;1)+a1?1(x?;1)+···+a?;1??;1(x?;1)=0,可得a?;1=0最后代入x?得：a0?0(xk)+a1?1(x?)+···+a???(x?)=0,可得a?=0由于a0=a1=a2=···=a?;1=a?=0,所以*??(x)+(?=0,1,···,n)线性无关.1.(2)证明：(x;?0)···(x;??−1)(x;??+1)···(x;??)由题意有??(x)=,(??;?0)···(??;??−1)(??;??+1)···(??;??)1,?=?以及??(
3、??)=???={(?,?=0,1,···,n).0,?≠?考察a0?0(x)+a1?1(x)+···+a?;1??;1(x)+a???(x)=0的系数，代入x0得：a0?0(x0)=0，又?0(x0)=1，可得a0=0······代入x?得：a???(x?)=0，又??(x?)=1，可得a?=0由于a0=a1=a2=···=a?;1=a?=0,所以*??(x)+(?=0,1,···,n)线性无关.2.(1)证明：令f(x)=??,则f(x)的n次Lagrange插值多项式?=∑???(?)，??<0????+1(?)讨论其插值余项R?(x)=f(x)−??=??:1(?
4、)，(?:1)!因为k=0,1,···,nn，f(x)的n阶导数：f?(x)=?！??;?(kn)，(k;)!所以有f?:1(x)=0，可得f(x)−?=R(x)=0，f(x)=?.???则有?f(x)∑???(?)??，原命题得证.??<0??2.(2)证明：??原式=∑?<0(??−?)??(?)=∑?,∑?(?)??;?(−?)??(?)-(二项式定理)?<0?<0???=∑?,∑?(?)??;?(−?)??(?)-?<0?<0???=∑?,(?)(−?)?∑???;??(?)-(交换符号顺序)?<0??<0??=∑?,(?)(−?)???;?-(2.1中结论，其中
5、k−i=0,1,···,n)?<0?=(x−x)?(二项式定理)=0??则∑?<0(??−?)??(?)0,(?=1,2,···,n)，原命题得证.3.解：f(x)在x=100,121,144三点的二次插值多项式为(x−121)(x−144)L2(x)=√100×+√121(100−121)(100−144)(x−100)(x−144)×+√144(121−100)(121−144)(x−100)(x−121)×(144−100)(144−121)13;代入x=115得f(115)?2(115)=10.735。f(x)=−?2,f(x)=43;5?3(?)?3(144)−
6、?2,误差限R2(x)=?3(?)
7、(115−100)(115−83!3!121)(115−144)
8、=0001748167。使用内插法，f(x)在x=100,121两点的一次插值多项式为(x−121)(x−100)L1(x)=√100×+√121×(100−121)(121−100)代入x=115得f(115)?1(115)=10.714。误差限R1(x)=?2(?)?2(121)?2(?)
9、(115−100)(115−121)
10、=001690。结果不同2!2!显然是由于使用了不同的数学模型，精确度有所不同。4.证明：对f(x)在x=a,b两处进行插值，则插值多项式为?
11、−??−??(?)
12、?(?)
13、=
14、(?−?)(?−?)
15、
16、·
17、对x∈,a,b-恒成立。2!24max(?;?)2max则
18、?(?)
